Geometry

Bài toán (Iran National Olympiad Second Round 2010)

Hai đường tròn $(w_1),(w_2)$ gặp nhau tại $D,P$. $A,B$ tương ứng thuộc $(w_1),(w_2)$ sao cho $AB$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn và $D$ gần $AB$ hơn $P$. $AD$ lần nữa gặp $(w_2)$ tại $C$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $\angle DPM=\angle BDC$

Lời giải :

Gọi $K$ là giao của $DP$ và $AB$. Ta có $K{A}^2=KD.KP=K{B}^2$ nên $K$ là trung điểm của $AB$.

Ta thấy :

$$\angle BAP=\angle BAD+\angle DAP=\angle APD+\angle DAP=\angle PDC=\angle PBC$$

Cùng với $\angle ABP=\angle BCP$ ta được :

$\Delta BCP\sim \Delta ABP$$\Rightarrow \frac{BC}{BA}$$=\frac{PC}{PB}$$\Rightarrow \frac{MC}{KB}$$=\frac{PC}{PB}(AB$$=2KB,BC$$=2MC)$

Từ đó dễ dàng suy ra hai tam giác $KBP,MCP$ đồng dạng. Nên :

$$\angle MPC=\angle DPB\Rightarrow \angle BPC=\angle DPM\Rightarrow \angle BDC=\angle DPM$$

Điều phải chứng minh.