Arithmetic Sequence

Bài toán : Cho dãy $(x_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=51,x_2=53\\ x_{n+2}=\frac{x_{n+1}^2+49.2^n}{x_n}\end{array}$$

Tìm số nguyên dương $n$ sao cho các số $x_n$ và $x_{n+1}$ đều là tích của hai số nguyên tố phân biệt và hiệu của hai số nguyên tố trong mỗi tích đó là bằng nhau.

Lời giải :

Tuyến tính hóa dãy $(x_n)$, ta được :

$$x_{n+2}=3x_{n+1}-2x_n$$

Phương trình sai phân này cho ta :

$$x_n=2^n+49$$

Gỉa sử $2^n+49=pq$ và $2^{n+1}+49=rs$. Trong đó $p,q,r,s$ là các số nguyên tố, $p>q$,$r>s$ và $p-q=r-s$.

Nếu $n$ lẻ :

$$pq=2^n+49\equiv 0(mod3)\Rightarrow q=3$$

Từ đó ta được $p=r-s+3$. Hơn nữa :

$$rs=2^{n+1}+49=2(2^n+49)-49=6p-49$$

Kéo theo :

$$rs=6(r-s+3)-49\iff s=\frac{6r-31}{r+6}=6-\frac{67}{r+6}\Rightarrow r=61,s=5$$

Như vậy ta được $2^{n+1}+49=61.5$. Suy ra $n=7$.

Nếu $n$ chẵn thì $n+1$ lẻ :

$$rs=2^{n+1}+49\equiv 0(mod3)\Rightarrow s=3$$.

Từ đó $r=p-q+3$.

Hơn nữa :

$$3r=2(2^n+49)-49=2pq-49\Rightarrow 2pq-58=3(p-q)$$

Phương trình này không cho nghiệm thích hợp.

Đáp số $n=7$