Arithmetic Sequence

Bài toán (Bulgaria 1996)

Cho dãy số $(a_n)$ :

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=1\\ a_{n+1}=\frac{a_n}{n}+\frac{n}{a_n},\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng với mọi $n\ge 4$ thì $\lfloor a_n^2\rfloor =n$.

Lời giải :

Trước hết ta có một nhận xét sau :

Nếu $a,b$ là các số nguyên dương thì ta có :

$\lfloor \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\rfloor$$=max\left\{\frac{a}{b},\frac{b}{a}\right\}$

Và ta dễ dàng chứng minh được nhận xét này.

Tiếp theo, ta chứng minh bài toán bằng quy nạp. Với $n=4$ ta dễ dàng kiểm tra được $\lfloor a_4^2\rfloor =4$.

Gỉa sử có $\lfloor a_n^2\rfloor =n$, xét với $n+1$ :

$$a_{n+1}^2=2+\frac{a_n^2}{n^2}+\frac{n^2}{a_n^2}$$

Hơn nữa vì $\lfloor a_n^2\rfloor =n\Rightarrow a_n^2<n+1<n^2$ nên theo nhận xét trên thì :

$$\lfloor a_{n+1}^2\rfloor =2+\lfloor \frac{n^2}{a_n^2}\rfloor$$

Ta chỉ cần chứng minh cho được

$$\lfloor \frac{n^2}{a_n^2}\rfloor =n-1\iff n-1<\frac{n^2}{a_n^2}<n\iff \{\begin{array}{c}{a}_n^2>n\\ a_n^2<\frac{n^2}{n-1}\end{array}$$

Dễ thấy điều này đúng vì $n<a_n^2<n+1=\frac{n^2-1}{n-1}<\frac{n}{n-1}$.

Bài toán hoàn tất.