Bài toán (Chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT Chuyên Khoa học Tự Nhiên, ĐHQGHN 2011-2012) Cho dãy số $(a_n)$ được xác định như sau : \[\left\{\begin{matrix} a_1=\dfrac{5}{2}\\ a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+6a_n-3,\;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.\] Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $\left \lfloor a_n \right \rfloor+1$ chia hết cho $3^{2011}$. Lời giải : Bổ đề : Cho $k$ là một số nguyên dương. Khi đó ta có $v_3(2^{3^k}+1)=3^k$. Chứng minh bổ đề : Ta chứng minh bằng quy nạp. Với $n=1$ thì hiển nhiên. Gỉa sử có điều đó. Xét với $n+1$ : \[v_3(2^{3^{k+1}}+1)=v_3\left ( (2^{3^k}+1)(2^{2.3^k}-2^{3^k}+1) \right )=3^k.v_3\left ( 2^{2.3^k}-2^{3^k}+1 \right )\] Do vậy chỉ cần chứng tỏ được : \[v_3\left ( 2^{2.3^k}-2^{3^k}+1 \right )=1\] Dễ thấy điều này đúng vì ta chứng minh được $3\mid n^2-n+1$ nhưng $9\nmid n^2-n+1$ với $n\equiv 2\;(mod\;3)$, cụ thể ở đây là $n=2^{3^k}$. Bổ đề được chứng minh. Trở lại bài toán : Đặt $a_n=u_n+1$ ta được : \[u_{n+1}+1=(u_n+1)^3-3(u_n+1)^2+6(u_n+1)-3\Leftrightarrow u_{n+1}=u_n^3+3u_n\] Lại đặt $u_n=2x_n$ được : \[x_{n+1}=4x_n^3+3x_n\] với $x_1=\dfrac{3}{4}$. Ta viết $x_1$ dưới dạng $x_1=\dfrac{1}{2}\left ( 2-\dfrac{1}{2} \right )$ nên : \[x_2=4x_1^3+3x_1=4.\left [ \dfrac{1}{2}\left ( 2-\dfrac{1}{2} \right ) \right ]^3+3.\dfrac{1}{2}\left ( 2-\dfrac{1}{2} \right )=\dfrac{1}{2}\left ( 2^3-\dfrac{1}{2^3} \right )\] Quy nạp lên ta được : \[x_n=\dfrac{1}{2}\left ( 2^{3^{n-1}}-\dfrac{1}{2^{3^{n-1}}} \right )\] Do đó : \[a_n=2x_n+1=2^{3^{n-1}}-\dfrac{1}{2^{3^{n-1}}}+1\Rightarrow \left \lfloor a_n \right \rfloor=2^{3^{n-1}}\] Do đó theo bài ra ta cần tìm $n$ nhỏ nhất thỏa mãn : \[3^{2011}\mid 2^{3^{n-1}}+1\] Theo bổ đề trên ta có \[v_3(2^{3^{n-1}}+1)\geq v_3(3^{2011})\Leftrightarrow n-1\geq 2011\Leftrightarrow n\geq 2012\] Vậy $n$ nhỏ nhất cần tìm là $n=2012$. Lưu ý : Trong bài ta sử dụng một định lí sau : Gỉa sử $sin(2k+1)t=P_{2k+1}(sint)$, trong đó $P_{2k+1}(x)$ là một đa thức đại số bậc $2k+1$. Kí hiệu $Q_{2k+1}(x)$ là một đa thức đại số bậc $2k+1$ sinh bởi $P_{2k+1}(x)$ bằng cách giữ những hệ số ứng với lũy thừa chia $4$ dư $1$ và thay những hệ số ứng với lũy thừa chia $4$ dư $3$ bằng hệ số đổi dấu. Khi đó thì : \[Q_{2k+1}\left ( \dfrac{1}{2}\left ( a-\dfrac{1}{a} \right ) \right )=\dfrac{1}{2}\left ( a^{2k+1}-\dfrac{1}{a^{2k+1}} \right )\]

Arithmetic Sequence

Bài toán (Chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT Chuyên Khoa học Tự Nhiên, ĐHQGHN 2011-2012)

Cho dãy số $(a_{n})$ được xác định như sau :

${a_{1} = \frac{5}{2} a_{n + 1} = a_{n}^{3} - 3 a_{n}^{2} + 6 a_{n} - 3, \forall n \geq 1$

Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $⌊ a_{n} ⌋ + 1$ chia hết cho $3^{2011}$ .

Lời giải :

Bổ đề : Cho $k$ là một số nguyên dương. Khi đó ta có $v_{3} (2^{3^{k}} + 1) = 3^{k}$ .

Chứng minh bổ đề :

Ta chứng minh bằng quy nạp. Với $n = 1$ thì hiển nhiên. Gỉa sử có điều đó. Xét với $n + 1$ :

$v_{3} (2^{3^{k + 1}} + 1) = v_{3} ((2^{3^{k}} + 1) (2^{2. 3^{k}} - 2^{3^{k}} + 1)) = 3^{k} . v_{3} (2^{2. 3^{k}} - 2^{3^{k}} + 1)$

Do vậy chỉ cần chứng tỏ được :

$v_{3} (2^{2. 3^{k}} - 2^{3^{k}} + 1) = 1$

Dễ thấy điều này đúng vì ta chứng minh được $3 ∣ n^{2} - n + 1$ nhưng $9 ∤ n^{2} - n + 1$ với $n \equiv 2 (m o d 3)$ , cụ thể ở đây là $n = 2^{3^{k}}$ .

Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán :

Đặt $a_{n} = u_{n} + 1$ ta được :

$u_{n + 1} + 1 = (u_{n} + 1)^{3} - 3 (u_{n} + 1)^{2} + 6 (u_{n} + 1) - 3 \Leftrightarrow u_{n + 1} = u_{n}^{3} + 3 u_{n}$

Lại đặt $u_{n} = 2 x_{n}$ được :

$x_{n + 1} = 4 x_{n}^{3} + 3 x_{n}$

với $x_{1} = \frac{3}{4}$ .

Ta viết $x_{1}$ dưới dạng $x_{1} = \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2})$ nên :

$x_{2} = 4 x_{1}^{3} + 3 x_{1} = 4. [\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2})]^{3} + 3. \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (2^{3} - \frac{1}{2 ^{3}})$

Quy nạp lên ta được :

$x_{n} = \frac{1}{2} (2^{3^{n - 1}} - \frac{1}{2 ^{3^{n - 1}}})$

Do đó :

$a_{n} = 2 x_{n} + 1 = 2^{3^{n - 1}} - \frac{1}{2 ^{3^{n - 1}}} + 1 \Rightarrow ⌊ a_{n} ⌋ = 2^{3^{n - 1}}$

Do đó theo bài ra ta cần tìm $n$ nhỏ nhất thỏa mãn :

$3^{2011} ∣ 2^{3^{n - 1}} + 1$

Theo bổ đề trên ta có

$v_{3} (2^{3^{n - 1}} + 1) \geq v_{3} (3^{2011}) \Leftrightarrow n - 1 \geq 2011 \Leftrightarrow n \geq 2012$

Vậy $n$ nhỏ nhất cần tìm là $n = 2012$ .

Lưu ý : Trong bài ta sử dụng một định lí sau :

Gỉa sử $s in (2 k + 1) t = P_{2 k + 1} (s in t)$ , trong đó $P_{2 k + 1} (x)$ là một đa thức đại số bậc $2 k + 1$ . Kí hiệu $Q_{2 k + 1} (x)$ là một đa thức đại số bậc $2 k + 1$ sinh bởi $P_{2 k + 1} (x)$ bằng cách giữ những hệ số ứng với lũy thừa chia $4$ dư $1$ và thay những hệ số ứng với lũy thừa chia $4$ dư $3$ bằng hệ số đổi dấu. Khi đó thì :

$Q_{2 k + 1} (\frac{1}{2} (a - \frac{1}{a})) = \frac{1}{2} (a^{2 k + 1} - \frac{1}{a ^{2 k + 1}})$

Arithmetic Sequence

Đề bài

Mô tả