Number Theory

Bài toán (Iran National Olympiad Second Round 2008)

 Cho $a$ là một số tự nhiên. Biết rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $4(a^n+1)$ là một lập phương đúng. Chứng minh $a=1$.

Lời giải :

Ta có $4(a^3+1),4(a^9+1)$ đều là lập phương đúng. Chú ý vì :

$$4(a^9+1)=4(a^3+1)(a^6-a^3+1)$$

Suy ra $a^6-a^3+1$ là một lập phương đúng. Đặt :

$$a^6-a^3+1=t^3(t\in \mathbb{N})$$

Chú ý nếu mà $a>1$ thì :

$$(a^2-1{)}^3<a^6-a^3+1<(a^2{)}^3$$

Mâu thuẫn với việc $a^6-a^3+1$ là một lập phương đúng. Như vậy $a=1$, ta có điều cần chứng minh.