Geometry

Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 424 – Trần Quang Hùng)

Cho tam giác $ABC$, tâm ngoại tiếp $(O)$, tâm nội tiếp $(I)$ và tâm bàng tiếp góc $A$ là $I_a$. $AI,BI$ cắt $BC,CA$ tại $D,E$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc $O{I}_a$ cắt $AC$ tại $M$. Chứng minh rằng $DE$ đi qua trung điểm của $IM$.

Lời giải :

Bổ đề : Cho tam giác $ABC$ phân giác $BE,CF$ có tâm $O$ ngoại tiếp và tâm $I_a$ bàng tiếp góc $A$. Khi đó thì $EF$ vuông góc $O{I}_a$.

Xem chứng minh tại đây

Trở lại bài toán :

Gọi $F$ là giao của $CI$ với $latex AB$. Theo bổ đề ta có $EF$ vuông góc $O{I}_a$. Suy ra $IM$ song song $EF$.

Mặt khác cũng dễ dàng thấy $E(FDIM)=-1$ (hàng điều hòa tứ giác toàn phần). Vậy theo định lí về chùm điều hòa ta có $ED$ đi qua trung điểm của $IM$.