Geometry

Bài toán (Iran National Olympiad Second Round 2013)

Từ điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(C)$, ta kẻ hai tiếp tuyến $PA,PB$ với $A,B$ là các tiếp điểm. $K$ là một điểm trên đoạn $AB$. Gỉa sử đường tròn ngoại tiếp tam giác $PBK$ cắt $(C)$ tại $T$. Gọi $P^{\prime }$ là điểm đối xứng với $P$ qua $A$. Chứng minh rằng $\angle PBT=\angle P^{\prime }KA$.

Lời giải :

Kẻ đường kính $AOX$ của $(C)$ với $O$ là tâm của $(C)$ và gọi $L$ là giao của $OP$ với $(PBK)$. Ta sẽ chứng minh $T,L,X$ thẳng hàng.

Thật vậy, ta có $\angle BTL=\angle BPL=\angle BAX=\angle BTX$, suy ra $T,L,X$ thẳng hàng.

Xét hai tam giác $TAK$ và $TBP$ :

$$\angle AKT=\angle BPT$$

$$\angle TAK=\angle TXB=\angle PBT$$

Suy ra hai tam giác này đồng dạng. Kéo theo :

$$\frac{BT}{AT}=\frac{BP}{AK}=\frac{A{P}^{\prime }}{AK}(1)$$

Cũng dễ dàng thấy được :

$$\angle ATB=90^0+\angle BTX=90^0+\angle BAX=\angle KA{P}^{\prime }(2)$$

Từ $(1)(2)$ suy ra :

$$\Delta KA{P}^{\prime }\sim \Delta ATB\Rightarrow \angle P^{\prime }KA=\angle TAB=\angle PBT$$

Đây là điều cần chứng minh.