Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ và một điểm $O$ thay đổi trên đoạn $BC$. Đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $M,N$. Chứng minh trực tâm tam giác $AMN$ luôn thuộc một đường cố định.

Lời giải :

Kẻ đường cao $BQ,CR$ của tam giác $ABC$. $X,Y$ lần lượt đối xứng với $A$ qua $R,Q$. Dễ thấy $X,Y$ cố định. Ta chứng minh $H$ thuộc $XY$.

Gọi $J$ là chân vuông góc hạ từ $O$ xuống $MN$.

Hai tam giác vuông $MOJ,BAQ$ có $\angle MOJ=\angle BAQ=\frac{1}{2}\angle MON$ nên chúng đồng dạng. Suy ra :

$\frac{OJ}{OM}$$=\frac{AQ}{AB}$$\Rightarrow \frac{AH}{OM}$$=\frac{AY}{AB}(AH$$=2OJ,AY$$=2AQ)$$\Rightarrow \frac{AH}{AO}$$=\frac{AY}{AB}$

Lại có $\angle HAY=\angle OAB$ do $AO,AH$ đẳng giác trong góc $BAC$ nên ta suy ra hai tam giác $AHY,AOB$ đồng dạng. Suy ra :

$$\angle AXH=\angle ABC$$

Mặt khác dễ thấy $XY$ chính là đường đối song với $BC$ nên $\angle AYX=\angle ABC$.

Dẫn đến :

$$\angle AYH=\angle AYX$$

Vậy $H,X,Y$ thẳng hàng hay $H$ thuộc đường thẳng $XY$ cố định với $X,Y$ xác định như trên.