Geometry

Bài toán (Bosnia Herzegovina Team Selection Test 2010)

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Các phân giác trong $AM,BN$ cắt đường cao $CH$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của $QN,PM$ song song với $AB$.

Lời giải :

Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $X,Y$ lần lượt là trung điểm của $QN,PM$.

Ta có :

$\angle CQN$$=\angle HQB$$=\angle HCB+\angle CBQ$$=\angle BAC+\frac{\angle B}{2}$$=\angle BAC+\angle QBA$$=\angle QNC$

Như vậy ta được tam giác $CNQ$ cân tại $C$, do $X$ là trung điểm của $QN$ nên $CX\perp QN$.

Tương tự $CY\perp PM$. Từ đó dễ thấy tứ giác $CXIY$ nội tiếp.

Ta có :

$\angle IYX$$=\angle ICX$$=\angle ICN-\angle XCN$$=\frac{90^0-\angle HCA}{2}$$=\frac{\angle A}{2}$$=\angle IAB$

Hai góc này ở vị trí so le trong nên $XY$ song song $AB$. Điều phải chứng minh.