Geometry

Bài toán (Korea Final Round 2013)

Cho tam giác $ABC$ có $AC>AB$, $D$ là điểm trên $AC$ thỏa mãn $\angle ABD=\angle C$. Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$ và $E$ là giao điểm khác $I$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDI$ và $AI$. Đường thẳng qua $E$ song song $AB$ gặp $BD$ tại $P$. Gỉa sử $J$ là tâm nội tiếp tam giác $ABD$ và $A^{\prime }$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$. $Q$ là giao điểm của $JP$ và $A^{\prime }C$. Chứng minh rằng $QJ=Q{A}^{\prime }$.

Lời giải :

Gọi $X$ là trung điểm của $BE$. Ta có :

$$\angle BPE=\angle ABD=\angle C$$

Và

$$\angle BEP=\angle BEA+\angle AEP=\angle ABI+\angle BAI=\frac{\angle A+\angle B}{2}$$

(Chú ý vì $AI.AE=AD.AC=A{B}^2\Rightarrow \angle BEA=\angle ABI$)

Như vậy $\angle BPE+2\angle BEP=180^0$, suy ra tam giác $PBE$ cân tại $P$. Vậy trung tuyến $PX$ cũng sẽ là đường cao.

Ta có :

$\angle JDE$$=180^0-\angle DJE-\angle DEJ$$=180^0-\left(\angle JAD+\angle JDA\right)-\angle DCI$$=180^0-\left(\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}\right)-\frac{\angle C}{2}$$=90^0$

Xét hai tam giác vuông $JDE$ và $EXP$ có $\angle XPE=\angle DEJ=\frac{\angle C}{2}$ nên chúng đồng dạng. Suy ra :

$$\frac{EX}{JD}=\frac{EP}{JE}$$

Dễ thấy hai tam giác $AJD$ và $ABE$ đồng dạng nên :

$\frac{BE}{JD}$$=\frac{AB}{AJ}$$=\frac{AC}{AI}$$\Rightarrow \frac{EX}{JD}$$=\frac{AC}{A{A}^{\prime }}(BE$$=2EX,A{A}^{\prime }$$=2AI)$

Do vậy ta được :

$$\frac{AC}{A{A}^{\prime }}=\frac{EP}{JE}$$

Từ đó dễ dàng có hai tam giác $EJP$ và $A{A}^{\prime }C$ đồng dạng. Suy ra :

$\angle PJE$$=\angle A{A}^{\prime }C$$\Rightarrow \angle QJA$$=180^0-\angle PJE$$=180^0-\angle A{A}^{\prime }C$$=\angle QAJ$$\Rightarrow QJ$$=Q{A}^{\prime }$

Đây là điều cần chứng minh.