1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho tam giác có trực tâm và là trung điểm . Phân giác góc cắt tại . Đường tròn thay đổi qua cắt theo thứ tự tại . a) Chứng minh rằng trực tâm tam giác luôn thuộc một đường thẳng cố định. Gọi là đường thẳng này b) Gọi là giao […]
Bài toán (Iran National Olympiad 3rd Round 2013) Cho tam giác nội tiếp . Các đường cao cắt nhau tại . cắt tại . Qua trung điểm của , kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Chứng minh . Lời giải : Ta có : Như vậy ta được bốn điểm đồng viên. Chú […]
Bài toán (Turkey Team Selection Test 2014) Tìm các cặp số nguyên dương lẻ thỏa mãn : và Lời giải : Ta đặt với là số nguyên dương chẵn. Ta có : Suy ra : Nếu , ta không tìm được thỏa đề. Nếu thì : Ta được bộ . Xét , ta có : Vì […]
Bài toán (Turkey Junior Balkan Mathematical Olympiad Team Selection Test 2014) Tìm tất cả bộ ba các số nguyên dương thỏa mãn : Lời giải : Nếu thì . Nhận . Nếu thì trong hai số sẽ là số lẻ, dẫn đến có chứa ước nguyên tố lẻ. Ta gặp mâu thuẫn Không mất tính tổng […]
Bài toán (Turkey Junior Balkan Mathematical Olympiad Team Selection Test 2013) Tìm các số nguyên dương thỏa mãn : . Lời giải : Lần lượt thử với thì nhận . Xét . Gọi là ước nguyên tố nhỏ nhất của . Ta được . Hơn nữa vì tính nhỏ nhất của nên . Suy ra . […]
Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2013) Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn : Lời giải : Ta đặt với . Chú ý và . Ta suy ra : Như vậy . Đặt với là các số nguyên dương. Ta đưa về phương trình tích : Gọi là một ước nguyên tố chung của […]
Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2013) Cho tam giác . Đường tròn bàng tiếp góc tiếp xúc tại . Đường tròn bàng tiếp góc tiếp xúc tại . Gọi theo thứ tự là hình chiếu của xuống . Chứng minh tứ giác nội tiếp. Lời giải : Gọi là tâm nội tiếp tam giác và […]
Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2014) Cho hình thang nội tiếp đường tròn đường kính . Hai đường chéo cắt nhau tại . Đường tròn cắt tại sao cho nằm trên nửa đường tròn chứa . Đường thẳng qua vuông góc cắt tại . Chứng minh vuông góc . Lời giải : Gọi là giao […]
Bài toán (Đề xuất Olympic Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ toán 10 THPT Chuyên Bắc Giang, tỉnh Bắc Giang 2013-2014) Cho tứ giác nội tiếp có hai đường chéo giao nhau tại . theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn và . Chứng minh rằng bốn điểm […]
Bài toán (Đề xuất Olympic Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ toán 10 THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng năm 2013-2014) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Viết phương trình hàm đã cho dưới dạng : Cố định thì vế phải là hàm bậc nhất theo nên […]
Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2008) Cho tam giác nhọn có . Gọi là tâm ngoại tiếp và là trực tâm tam giác, là chân vuông góc hạ từ . là điểm của sao cho . là trung điểm của . giao tại , là giao của và , là giao của và . Chứng […]
Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2011) Cho tứ giác nội tiếp không là hình thang với là trung điểm của . Đường thẳng qua song song . theo thứ tự là hình chiếu của xuống trong đó là giao của . Chứng minh vuông góc . Lời giải : Gọi theo thứ tự là giao […]
Bài toán (Japanese Mathematical Olympiad Finals 2013) Cho tam giác nhọn , trực tâm . Đường tròn đường kính và một đường tròn qua cắt nhau tại hai điểm . Gọi là chân vuông góc từ xuống . Gọi là hình chiếu của xuống . Chứng minh rằng . Lời giải : Gọi theo thứ […]
Bài toán (Iran Team Selection Test 2013) Cho tam giác đường cao . theo thứ tự là tâm bàng tiếp góc của các tam giác . Gọi là tiếp điểm của với đường tròn nội tiếp tam giác . Chứng minh bốn điểm đồng viên. Lời giải : Gọi theo thứ tự là hình chiếu […]
Bài toán (Rioplatense Mathematical Olympiad Level 3 2008) Cho tam giác có và theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với . Gọi là trung điểm của cung tròn chứa điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tia gặp đường tròn lần nữa tại . cắt tại […]
Bài toán (Russia Sharygin Geometry Olympiad 2013) Cho tam giác có phân giác . theo thứ tự là tâm nội tiếp các tam giác . giao tại . Chứng minh . Lời giải : Gọi là tâm nội tiếp tam giác. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác và đường thẳng : Theo tính […]
Bài toán (Russia Sharygin Geometry Olympiad 2013) Cho tam giác , phân giác . Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của xuống . Đường tròn đường kính cắt theo thứ tự tại . Chứng minh . Lời giải : Bổ đề : (Định lý Steiner) Cho tam giác và hai điểm trên cạnh […]
Bài toán (Đề xuất Olympic Duyên hải và Đồng bằng Bắc bộ toán 11 năm 2013-2014 THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Đặt ta được : Trong ta lấy ta được : Vì là một đa thức bậc lẻ nên nhận mọi […]
Bài toán (Chọn đội tuyển Trại hè Hùng Vương 2014 THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành, Yên Bái) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Cố định trong ta được là toàn ánh. Trong ta cho được . Trong cho : Trong thay bởi : Nếu thì từ ta được . […]
Bài toán (Korea Final Round 2007) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương thỏa mãn : Lời giải : Không giảm tổng quát, ta giả sử . Nếu thì dễ dàng thấy : Và đây là điều mâu thuẫn. Nếu ta được : Ta được nghiệm với là số nguyên dương bất kì. Nếu […]