Bài toán (Iran Team Selection Test 2013) Cho tam giác $ABC$ đường cao $AH$. $I,J$ theo thứ tự là tâm bàng tiếp góc $B,C$ của các tam giác $ABH,ACH$. Gọi $P$ là tiếp điểm của $BC$ với đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh bốn điểm $I,J,P,H$ đồng viên. Lời giải : Gọi $X,Y$ theo thứ tự là hình chiếu của $J,I$ xuống $BC$ Ta có thể thấy : \[XC=\dfrac{AH+AC+HC}{2}\] và \[PC=\dfrac{AC+BC-AB}{2}\] Suy ra : \[XP=XC-PC=\dfrac{AH+AC+HC-AC-BC+AB}{2}=\dfrac{AH+AB-HB}{2}\] Ta có : \[AH=c.sinB,HB=c.cosB\] Suy ra : \[XP=\dfrac{c(1+sinB-cosB)}{2}\]. Tương tự $YP=\dfrac{b(1+sinC-cosC)}{2}$. Theo công thức tính bán kính đường tròn bàng tiếp của một tam giác, ta có : \[JX=\dfrac{AH+HC+CA}{2}.tan\dfrac{C}{2}=\dfrac{b(1+sinC+cosC)}{2}.tan\dfrac{C}{2}\] Tương tự $IY=\dfrac{AH+HB+BA}{2}.tan\dfrac{B}{2}=\dfrac{c(1+sinB+cosB)}{2}.tan\dfrac{B}{2}$. Ta chứng minh : \[\dfrac{JX}{XP}=\dfrac{YP}{IY}\Leftrightarrow \dfrac{1+sinC+cosC}{1+sinB-cosB}.tan\dfrac{C}{2}.tan\dfrac{B}{2}=\dfrac{1+sinC-cosC}{1+sinB+cosB}\] Ta có thể dễ dàng chứng minh được đẳng thức lượng giác này. Suy ra hai tam giác vuông $JXP$ và $PIY$ đồng dạng. Kéo theo $\angle JPX=\angle PIY$ mà $\angle PIY+\angle IPY=90^0$ nên $\angle JPX+\angle IPY=90^0$. Ta được $\angle JPI=90^0$. Dễ dàng thấy $\angle JHI=90^0$ do tính chất phân giác hai góc kề bù. Vậy bốn điểm $I,J,H,P$ đồng viên.

Geometry

Bài toán (Iran Team Selection Test 2013)

Cho tam giác $A B C$ đường cao $A H$ . $I, J$ theo thứ tự là tâm bàng tiếp góc $B, C$ của các tam giác $A B H, A C H$ . Gọi $P$ là tiếp điểm của $B C$ với đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$ . Chứng minh bốn điểm $I, J, P, H$ đồng viên.

Lời giải :

Gọi $X, Y$ theo thứ tự là hình chiếu của $J, I$ xuống $B C$

Ta có thể thấy :

$X C = \frac{A H + A C + H C}{2}$ và $P C = \frac{A C + B C - A B}{2}$

Suy ra :

$X P = X C - P C = \frac{A H + A C + H C - A C - B C + A B}{2} = \frac{A H + A B - H B}{2}$

Ta có :

$A H = c . s in B, H B = c . cos B$

Suy ra :

$X P = \frac{c ( 1 + s in B - cos B )}{2}$ .

Tương tự $Y P = \frac{b ( 1 + s in C - cos C )}{2}$ .

Theo công thức tính bán kính đường tròn bàng tiếp của một tam giác, ta có :

$J X = \frac{A H + H C + C A}{2} . t an \frac{C}{2} = \frac{b ( 1 + s in C + cos C )}{2} . t an \frac{C}{2}$

Tương tự $I Y = \frac{A H + H B + B A}{2} . t an \frac{B}{2} = \frac{c ( 1 + s in B + cos B )}{2} . t an \frac{B}{2}$ .

Ta chứng minh :

$\frac{J X}{X P} = \frac{Y P}{I Y} \Leftrightarrow \frac{1 + s in C + cos C}{1 + s in B - cos B} . t an \frac{C}{2} . t an \frac{B}{2} = \frac{1 + s in C - cos C}{1 + s in B + cos B}$

Ta có thể dễ dàng chứng minh được đẳng thức lượng giác này.

Suy ra hai tam giác vuông $J X P$ và $P I Y$ đồng dạng. Kéo theo $∠ J P X = ∠ P I Y$ mà $∠ P I Y + ∠ I P Y = 9 0^{0}$ nên $∠ J P X + ∠ I P Y = 9 0^{0}$ . Ta được $∠ J P I = 9 0^{0}$ . Dễ dàng thấy $∠ J H I = 9 0^{0}$ do tính chất phân giác hai góc kề bù. Vậy bốn điểm $I, J, H, P$ đồng viên.

Geometry

Đề bài

Mô tả