Bài toán : Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và $M$ là trung điểm $BC$. Phân giác góc $A$ cắt $HM$ tại $K$. Đường tròn thay đổi qua $A,K$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $J,L$. a) Chứng minh rằng trực tâm tam giác $AJL$ luôn thuộc một đường thẳng cố định. Gọi $(d)$ là đường thẳng này b) Gọi $P$ là giao điểm của $(d)$ với $HM$. Chứng minh $HP=HK$. Lời giải : a) Gọi $U,V$ lần lượt là điểm đối xứng của $K$ qua $AB,AC$. Dễ thấy $UV$ cố định. Do $UV$ là đường thẳng Steiner của tam giác $ALJ$ nên $UV$ luôn đi qua trực tâm của tam giác này. Như vậy trực tâm tam giác $ALJ$ luôn thuộc đường thẳng cố định. b) Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$ Gọi $X,Y$ lần lượt là giao của $(KU,AB),(KV,AC)$. $AK$ cắt $(O)$ tại $I$. $S,T$ theo thứ tự là giao của đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AB$ và đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AC$ với $XY$. Ta chứng minh $XY$ là đường thẳng Steiner của tam giác $ABC$ ứng với điểm Anti-Steiner $I$. Ta có : \[\dfrac{AK}{IK}=\dfrac{AH}{IM}\Rightarrow \dfrac{AK}{AI}=\dfrac{AH}{AH+IM}\] Chú ý có $IM=MC.tan\dfrac{A}{2}=OM.tan\dfrac{\angle BOC}{2}.tan\dfrac{A}{2}=OM.tanA.tan\dfrac{A}{2}$ và $2OM=AH$ Suy ra : \[AK=AI.\dfrac{2}{2+tanA.tan\dfrac{A}{2}}\] Dễ có : \[AX=AK.cos\dfrac{A}{2}=AI.\dfrac{2cos\dfrac{A}{2}}{2+tanA.tan\dfrac{A}{2}}\] Ta sẽ chứng minh : \[XI^2=IK.IA\Leftrightarrow AX^2+AI^2-2AX.AI.cos\dfrac{A}{2}=(AI-AK).AI\Leftrightarrow AX^2=2AX.AI.cos\dfrac{A}{2}-AK.AI\Leftrightarrow \dfrac{4.cos^2\dfrac{A}{2}}{(2+tanA.tan\dfrac{A}{2})^2}=\dfrac{4cos^2\dfrac{A}{2}}{2+tanA.tan\dfrac{A}{2}}-\dfrac{2}{2+tanA.tan\dfrac{A}{2}}\] \[\Leftrightarrow \dfrac{2cos^2\dfrac{A}{2}}{2+tanA.tan\dfrac{A}{2}}=2cos^2\dfrac{A}{2}-1\Leftrightarrow 2cos^2\dfrac{A}{2}+tanA.sinA=2+tanA.tan\dfrac{A}{2}\] Không khó để chứng minh đẳng thức này. Như vậy ta có $XI^2=IK.IA$ suy ra $\angle KXI=\angle XAK=\angle YXK$ Hay $XK$ là phân giác góc $YXI$, từ đó có $\angle IXB=\angle AXY=\angle SXB$. Điều này đồng nghĩa $XB$ là phân giác của tam giác $SXI$ mà $XB$ đã là đường cao nên tam giác $SXI$ cân. Tương tự tam giác $IYT$ cân. Suy ra $ST$ là đường thẳng Steiner ứng với điểm Anti-Steiner $I$ của tam giác $ABC$. Do vậy $ST$ đi qua $H$ hay $XY$ đi qua $H$. Khi đó để ý $XHY$ là đường trung bình của tam giác $UKV$ ta thu được ngay $HP=HK$.

Geometry

Bài toán : Cho tam giác $A B C$ có trực tâm $H$ và $M$ là trung điểm $B C$ . Phân giác góc $A$ cắt $H M$ tại $K$ . Đường tròn thay đổi qua $A, K$ cắt $A B, A C$ theo thứ tự tại $J, L$ .

a) Chứng minh rằng trực tâm tam giác $A J L$ luôn thuộc một đường thẳng cố định. Gọi $(d)$ là đường thẳng này

b) Gọi $P$ là giao điểm của $(d)$ với $H M$ . Chứng minh $H P = H K$ .

Lời giải :

a) Gọi $U, V$ lần lượt là điểm đối xứng của $K$ qua $A B, A C$ . Dễ thấy $U V$ cố định.

Do $U V$ là đường thẳng Steiner của tam giác $A L J$ nên $U V$ luôn đi qua trực tâm của tam giác này.

Như vậy trực tâm tam giác $A L J$ luôn thuộc đường thẳng cố định.

b) Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $A B C$

Gọi $X, Y$ lần lượt là giao của $(K U, A B), (K V, A C)$ . $A K$ cắt $(O)$ tại $I$ . $S, T$ theo thứ tự là giao của đường thẳng qua $I$ vuông góc với $A B$ và đường thẳng qua $I$ vuông góc với $A C$ với $X Y$ . Ta chứng minh $X Y$ là đường thẳng Steiner của tam giác $A B C$ ứng với điểm Anti-Steiner $I$ .

Ta có :

$\frac{A K}{I K} = \frac{A H}{I M} \Rightarrow \frac{A K}{A I} = \frac{A H}{A H + I M}$

Chú ý có $I M = M C . t an \frac{A}{2} = O M . t an \frac{∠ B O C}{2} . t an \frac{A}{2} = O M . t an A . t an \frac{A}{2}$ và $2 O M = A H$

Suy ra :

$A K = A I . \frac{2}{2 + t an A . t an \frac{A}{2}}$

Dễ có :

$A X = A K . cos \frac{A}{2} = A I . \frac{2 cos \frac{A}{2}}{2 + t an A . t an \frac{A}{2}}$

Ta sẽ chứng minh :

$X I^{2} = I K . I A \Leftrightarrow A X^{2} + A I^{2} - 2 A X . A I . cos \frac{A}{2} = (A I - A K) . A I \Leftrightarrow A X^{2} = 2 A X . A I . cos \frac{A}{2} - A K . A I \Leftrightarrow \frac{4. co s ^{2} \frac{A}{2}}{( 2 + t an A . t an \frac{A}{2} ) ^{2}} = \frac{4 co s ^{2} \frac{A}{2}}{2 + t an A . t an \frac{A}{2}} - \frac{2}{2 + t an A . t an \frac{A}{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{2 co s ^{2} \frac{A}{2}}{2 + t an A . t an \frac{A}{2}} = 2 co s^{2} \frac{A}{2} - 1 \Leftrightarrow 2 co s^{2} \frac{A}{2} + t an A . s in A = 2 + t an A . t an \frac{A}{2}$

Không khó để chứng minh đẳng thức này.

Như vậy ta có $X I^{2} = I K . I A$ suy ra $∠ K X I = ∠ X A K = ∠ Y X K$

Hay $X K$ là phân giác góc $Y X I$ , từ đó có $∠ I X B = ∠ A X Y = ∠ S X B$ . Điều này đồng nghĩa $X B$ là phân giác của tam giác $S X I$ mà $X B$ đã là đường cao nên tam giác $S X I$ cân.

Tương tự tam giác $I Y T$ cân. Suy ra $S T$ là đường thẳng Steiner ứng với điểm Anti-Steiner $I$ của tam giác $A B C$ . Do vậy $S T$ đi qua $H$ hay $X Y$ đi qua $H$ .

Khi đó để ý $X H Y$ là đường trung bình của tam giác $U K V$ ta thu được ngay $H P = H K$ .

Geometry

Đề bài

Mô tả