Geometry

Bài toán (Japanese Mathematical Olympiad Finals 2013)

Cho tam giác nhọn $ABC$, trực tâm $H$. Đường tròn đường kính $AH$ và một đường tròn qua $B,C$ cắt nhau tại hai điểm $X,Y$. Gọi $D$ là chân vuông góc từ $A$ xuống $BD$. Gọi $K$ là hình chiếu của $D$ xuống $XY$. Chứng minh rằng $\angle BKD=\angle CKD$.

Lời giải :

Gọi $E,F$ theo thứ tự là chân vuông góc hạ từ $B,C$ xuống $CA,AB$.

Dễ dàng thấy được $E,F$ thuộc đường tròn đường kính $AH$.

Gọi $I$ là giao của $XY$ và $BC$. Ta có :

$$IX.IY=IF.IE=P_{I/(AH)}$$

Hơn nữa vì tứ giác $XYCB$ nội tiếp nên $IB.IC=IX.IY=P_{I/(BCYX)}$

Như vậy ta có $P_{I/(AH)}=P_{I/(BCYX)}$. Suy ra $I$ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn, tức $I$ thuộc $XY$.

Dễ thấy $(ID,BC)=-1$ (hàng điều hòa tứ giác toàn phần). Do vậy theo tính chất của hàng điểm điều hòa ta có $KD$ là phân giác góc $BKC$. Đây là điều cần chứng minh.