Number Theory

Bài toán (Turkey Team Selection Test 2014)

Tìm các cặp số nguyên dương lẻ $(m,n)$ thỏa mãn :

$$n\mid 3m+1$$ và $$m\mid n^2+3$$

Lời giải :

Ta đặt $3m+1=nk$ với $k$ là số nguyên dương chẵn.

Ta có :

$$\frac{nk-1}{3}\mid n^2+3\Rightarrow nk-1\mid 3n^{2}k+9k=3n(nk-1)+3n+9k\Rightarrow nk-1\mid 3n+9k$$

Suy ra :

$$nk-1\le 9k+3n\iff (n-9)(k-3)\le 28$$

Nếu $k=2$ , ta không tìm được $m,n$ thỏa đề.

Nếu $k=4$ thì :

$$4n-1\mid 36+3n\Rightarrow n\in \left\{1,37\right\}$$

Ta được bộ $(m,n)=(1,1),(49,37)$.

Xét $k\ge 6$, ta có :

$$n-9\le \frac{28}{k-3}\le \frac{28}{3}\Rightarrow n\le 18$$

Vì $n$ lẻ nên $n\in \left\{1,3,5,7,9,11,13,15,17\right\}$. Lần lượt thử các giá trị này, ta chỉ nhận $n=13$, tương ứng $m=43$.

Các bộ số thỏa mãn bài ra là :

$$\boxed{(m,n)=(1,1),(43,13),(49,37)}$$