1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2009) Giải phương trình trên tập nghiệm nguyên dương. Lời giải : Bằng cách xét modulo ta được chẵn, đặt với nguyên dương. Ta viết phương trình dưới dạng : Ta gọi ta được . Lại có . Hai điều này mâu thuẫn nhau. Như vậy phải có . Ta […]
Bài toán : Tìm các số nguyên dương với và thỏa mãn : . Lời giải : Từ giả thiết ta có : Từ đó lại suy ra : Từ ta được . Nếu mà thì : Và đây là điều vô lí. Nếu mà ta được nghiệm với nguyên dương tùy ý. Nếu mà : […]
Bài toán : Chứng minh rằng tồn tại vô số nguyên dương thỏa mãn : Lời giải : Ta đặt . Biến đổi phương trình về dạng : Phương trình này có . Ta chọn cụ thể để thuận tiện cho việc biến đổi, ta chọn . Ta cần chứng minh tồn tại vô số số nguyên […]
Bài toán : Tìm hàm số thỏa mãn : Lời giải : Nếu tồn tại sao cho thì trong ta chọn ta được : Điều này vô lí. Vậy với mọi thuộc ta có : Tức là . Thử lại thấy thỏa. Đó cũng là đáp số duy nhất của bài toán.
Bài toán : Cho dãy số thực thỏa mãn : và Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một cặp với sao cho là một số nguyên. Lời giải : Ta có và . Để ý thấy tức . Ta dự đoán rằng : Gỉa sử có điều này, ta có : Như vậy theo nguyên […]
Bài toán (Chọn đội tuyển Trại hè Hùng Vương 2014 THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành, Yên Bái) Cho tam giác có ba đường cao . Gọi là điểm đối xứng với qua trung trực của . theo thứ tự đối xứng với qua trung điểm , qua trung điểm . a) Chứng minh đi qua […]
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh : Lời giải : Ta có : Do vậy cần chỉ ra : Theo BĐT Cauchy-Schwarz : Như vậy ta chứng minh : Với . Chuẩn hóa ta cần chứng minh : Điều này đúng với . BĐT đã cho được chứng minh.
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta đặt . Xét hiệu : Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử . Từ đó theo AM-GM : Từ đó có được : Như vậy ta chỉ cần chứng tỏ rằng : Hay : với […]
Bài toán : Cho các số không âm thỏa . Tìm lớn nhất sao cho : Lời giải : Thông thường trong những dạng toán này, đẳng thức đạt được ngoài giá trị tâm thì còn đạt được khi hai biến bằng nhau. Như vậy để chặn , ta chọn : Như vậy giá trị […]
Bài toán (Kiểm tra trường Đông toán học miền Nam 2013-2014) Cho dãy số thỏa và : Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này. Lời giải : Ta chứng minh từ số hạng thứ hai trở đi, dãy là dãy tăng. Thật vậy, dễ kiểm tra được . […]
Bài toán : Cho dãy số như sau : Tìm tất cả các giá trị của để dãy có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn trong các trường hợp đó. Lời giải : Xét hàm số , ta có . Ta có : Ta có bảng biến thiên : 1. Trường hợp 1 : . […]
Bài toán : Cho dãy số xác định bởi : Tồn tại hay không giá trị của để dãy có giới hạn hữu hạn ? Lời giải : Dễ thấy là dãy số dương. Xét hàm số và . Dễ dàng thấy nghịch biến và đồng biến trên . Ta có : Trong đó : là […]
Bài toán : Cho dãy số xác định bởi : Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp . Xét hàm số có nên nghịch biến trên . Ta kiểm tra được và . Từ đó mà : Quy […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh) Cho dãy số xác định bởi : Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Nếu thì Ta có : Chú ý dãy dương kể […]
Bài toán : Cho là các số nguyên dương với là số nguyên dương tuỳ ý và là một số nguyên tố có dạng . Chứng minh rằng : không là một số chính phương. Lời giải 1 : Chú ý các phân tích sau đây : Theo hằng đẳng thức Lagrange : Ta dễ […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2010 THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long) Cho dãy số xác định như sau : Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Đặt ta được : Dạng dãy số này quen thuộc.
Bài toán : Cho các số dương thoả mãn . Tìm số lớn nhất sao cho : Lời giải : Chọn ta được : Như vậy ta thấy với Do khi thì nên ta có thể xét trên . Dễ thấy là hàm đồng biến, suy ra : Từ đó nếu ta chỉ ra được : […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của : Lời giải : Chọn thì : Ta có : Do đó Ta có bảng biến thiên của như sau : Qua bảng biến thiên ta thấy tương ứng khi . Vậy ta chứng minh : Trước hết ta chứng […]
Bài toán (Kiểm tra Trường Hè Lê Qúy Đôn năm 2014) Tìm hằng số nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương thỏa mãn thì ta luôn có bất đẳng thức : Lời giải : Ta chọn : Ta có : Ta xem bảng biến thiên sau : Chú ý khoảng giá trị của […]
Bài toán : Cho các số không âm thỏa mãn . Tìm hằng số lớn nhất sao cho : Lời giải : Chọn ta được : Dễ thấy hàm nghịch biến và nên : Vậy ta kết luận được nếu ta chỉ ra được : Điều này luôn đúng theo BĐT Schur : Vậy giá […]