Inequality

Bài toán : Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm hằng số $k$ lớn nhất sao cho :

$$1-abc\ge k\left(ab+bc+ca-3abc\right)$$

Lời giải :

Chọn $a=b=t,c=3-2t$ ta được :

$1-t^2(3-2t)$$\ge k\left[t^2+2t(3-2t)-3t^2(3-2t)\right]$$\iff k$$\le \frac{2t^3-3t^2+1}{6t^3-12t^2+6t}$$=\frac{2t+1}{6t}$$=\frac{1}{3}+\frac{1}{6t}$

Dễ thấy hàm $f(t)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6t}$ nghịch biến và $t\in \left[0,\frac{3}{2}\right]$ nên :

$$f\left(t\right)\ge f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{4}{9}$$

Vậy ta kết luận được $k_{max}=4/9$ nếu ta chỉ ra được :

$$1-abc\ge \frac{4}{9}\left(ab+bc+ca-3abc\right)\iff 9+3abc\ge 4(ab+bc+ca)$$

Điều này luôn đúng theo BĐT Schur :

$$9+3abc\ge 9+\frac{1}{3}\left[4(ab+bc+ca)(a+b+c)-(a+b+c{)}^3\right]=4(ab+bc+ca)$$

Vậy giá trị lớn nhất của $k$ cần tìm là $\frac{4}{9}$.