Bài toán : Cho dãy số $(x_n)$ như sau : \[\left\{\begin{matrix} x_1=a\\ x_{n+1}=\sqrt[3]{7x_n-6} \end{matrix}\right.\] Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn trong các trường hợp đó. Lời giải : Xét hàm số $f(x)=\sqrt[3]{7x-6}$, ta có $x_{n+1}=f(x_n)$. Ta có : \[f'(x)=\dfrac{7}{3.\sqrt[3]{(7x-6)^2}}> 0,\;\forall x\neq \dfrac{6}{7}\] \[f(x)=x\Leftrightarrow 7x-6=x^3\Leftrightarrow x\in \left \{ -3,1,2 \right \}\] Ta có bảng biến thiên : 1. Trường hợp 1 : $x_1=a<-3$. Với mọi $x\in \left ( -\infty ,-3 \right )$ thì $f(x)\in \left ( -\infty ,-3 \right )$ và $f(x)>x$. Từ đó : \[x_2=f(x_1)=f(a)>a=x_1\] Quy nạp ta được dãy $(x_n)$ tăng. Cũng bằng quy nạp ta được $x_n< -3$. Từ đó $(x_n)$ hội tụ. Gỉa sử $L=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n$. Phương trình giới hạn cho ta $L\in \left \{ -3,1,2 \right \}$, chọn $L=-3$. 2. Trường hợp 2 : $x_1=a=-3$. Lúc này $x_n=-3,\;\forall n$ nên $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=-3$ 3. Trường hợp 3 : $-3<x_1=a<1$. Với mọi $x\in \left ( -3,1 \right )$ thì $f(x)\in \left ( -3 ,1 \right )$ và $f(x)<x$. Từ đó : \[x_2=f(x_1)=f(a)<a=x_1\] Quy nạp ta được dãy $(x_n)$ giảm. Cũng bằng quy nạp ta được $x_n>-3$. Từ đó $(x_n)$ hội tụ. Gỉa sử $L=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n$. Phương trình giới hạn cho ta $L\in \left \{ -3,1,2 \right \}$. Chú ý $2>1> x_1> x_2> x_3>...>x_n >...$ nên chọn $L=-3$. 4. Trường hợp 4 : $x_1=a=1$. Lúc này $x_n=1\;\forall n$ nên $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=1$ 5. Trường hợp 5 : $1<x_1=a<2$. Xử lí tương tự trường hợp 1. Ta được $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=2$ 6. Trường hợp 6 : $x_1=a=2$ Lúc này $x_n=2,\;\forall n$ nên $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=2$ 7. Trường hợp 7 : $x_1=a>2$. Xử lí tương tự trường hợp 3. Ta được $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=2$ Ta kết luận : Khi \[a<1\] thì \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=-3\] Khi \[a=1\] thì \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=1\] Khi \[a>1\] thì \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=2\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán : Cho dãy số $(x_{n})$ như sau :

${x_{1} = a x_{n + 1} = 3 7 x_{n} - 6$

Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn trong các trường hợp đó.

Lời giải :

Xét hàm số $f (x) = 3 7 x - 6$ , ta có $x_{n + 1} = f (x_{n})$ .

Ta có :

$f^{'} (x) = \frac{7}{3. 3 ( 7 x - 6 ) ^{2}} > 0, \forall x \neq = \frac{6}{7}$

$f (x) = x \Leftrightarrow 7 x - 6 = x^{3} \Leftrightarrow x \in {- 3, 1, 2}$

Ta có bảng biến thiên :

1. Trường hợp 1 : $x_{1} = a < - 3$ .

Với mọi $x \in (- \infty, - 3)$ thì $f (x) \in (- \infty, - 3)$ và $f (x) > x$ . Từ đó :

$x_{2} = f (x_{1}) = f (a) > a = x_{1}$

Quy nạp ta được dãy $(x_{n})$ tăng. Cũng bằng quy nạp ta được $x_{n} < - 3$ . Từ đó $(x_{n})$ hội tụ.

Gỉa sử $L = n \to + \infty lim x_{n}$ . Phương trình giới hạn cho ta $L \in {- 3, 1, 2}$ , chọn $L = - 3$ .

2. Trường hợp 2 : $x_{1} = a = - 3$ .

Lúc này $x_{n} = - 3, \forall n$ nên $n \to + \infty lim x_{n} = - 3$

3. Trường hợp 3 : $- 3 < x_{1} = a < 1$ .

Với mọi $x \in (- 3, 1)$ thì $f (x) \in (- 3, 1)$ và $f (x) < x$ . Từ đó :

$x_{2} = f (x_{1}) = f (a) < a = x_{1}$

Quy nạp ta được dãy $(x_{n})$ giảm. Cũng bằng quy nạp ta được $x_{n} > - 3$ . Từ đó $(x_{n})$ hội tụ.

Gỉa sử $L = n \to + \infty lim x_{n}$ . Phương trình giới hạn cho ta $L \in {- 3, 1, 2}$ .

Chú ý $2 > 1 > x_{1} > x_{2} > x_{3} > ... > x_{n} > ...$ nên chọn $L = - 3$ .

4. Trường hợp 4 : $x_{1} = a = 1$ .

Lúc này $x_{n} = 1 \forall n$ nên $n \to + \infty lim x_{n} = 1$

5. Trường hợp 5 : $1 < x_{1} = a < 2$ .

Xử lí tương tự trường hợp 1. Ta được $n \to + \infty lim x_{n} = 2$

6. Trường hợp 6 : $x_{1} = a = 2$

Lúc này $x_{n} = 2, \forall n$ nên $n \to + \infty lim x_{n} = 2$

7. Trường hợp 7 : $x_{1} = a > 2$ .

Xử lí tương tự trường hợp 3. Ta được $n \to + \infty lim x_{n} = 2$

Ta kết luận :

Khi $a < 1$ thì $n \to + \infty lim x_{n} = - 3$

Khi $a = 1$ thì $n \to + \infty lim x_{n} = 1$

Khi $a > 1$ thì $n \to + \infty lim x_{n} = 2$