1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho các số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất của : Lời giải : Đặt thì và . Lúc này trở thành : Ta chứng minh . Thật vậy : Điều này đúng nếu ta giả sử . Vậy ta được : Trong đó . Ta có : Vậy là hàm nghịch biến, do đó […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của : Lời giải : Đặt . Ta xét hiệu : Như vậy ta có : Ta đi tìm giá trị lớn nhất của Ta có : Bằng cách lập bảng biến thiên ta được khi . Từ đó khi […]
TỪ MỘT ĐẲNG THỨC ĐẸP (Bài viết trích dẫn lại từ bài viết của thành viên “Tham Lang” trên Diễn Đàn Toán Học VMF) Từ đẳng thức : Với một số biến đổi đại số, ta có những kết quả đẹp mắt và có nhiều ứng dụng sau đây. Nếu với các số dương mà […]
Bài toán : Cho các số không âm thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng . Chứng minh : Lời giải 1 : Ta đặt thì ta được đẳng thức đẹp mắt : Và cần chứng minh : Với giả thiết , ta nghĩ ngay đến kết quả quen thuộc của kỳ […]
Bài toán (International Mathematical Olympiad Shortlist 1993, Vietnam) Cho bốn số không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta cố định . Khi đó tổng cũng cố định. Khi đó hàm số : là hàm bậc nhất theo biến , do đó nó chỉ đạt cực trị tại biên của […]
Bài toán : Cho các số không âm thỏa mãn . Chứng minh : Lời giải : Cố định hai biến khi đó tổng cũng cố định. Lúc này hàm : là hàm bậc nhất theo biến nên chỉ đạt cực trị tại biên của biến. Có nên đạt cực trị tại hay . Tức […]
Bài toán : Cho các số không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Cố định hai biến , khi đó tổng cũng cố định. Lúc này vế trái được viết thành : là một hàm bậc nhất theo biến nên sẽ đạt cực trị tại biên của biến. Mà nên […]
Bài toán (Vietnamese Team Selection Test 2009) Tìm tất cả các hằng số sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương : Lời giải : Cho hai biến bằng nhau ta được : Cho ta được : Ta chứng minh đây là toàn bộ giá trị cần tìm. Đặt thì . Ta […]
Bài toán : (Vietnamese Team Selection Test 1990) Cho trước bốn số thực dương . Xét dãy số : Chứng minh rằng dãy trên có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Xét hai dãy như sau : Trước hết ta sẽ chứng minh hội tụ về cùng một giới […]
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO tỉnh Bắc Giang 2013-2014) Cho dãy số thỏa mãn Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Lời giải : Ta xét […]
Bài toán : Cho tam giác nhọn trực tâm , bán kính ngoại tiếp . Chứng minh rằng các đường tròn có một điểm chung khi và chỉ khi : . Lời giải : Ta có thể tính được : Từ đó : Ta có : Đẳng thức phải xảy ra khi và chỉ khi […]
Bài toán (International Mathematical Olympiad 2014) Cho tam giác . là các điểm thuộc cạnh sao cho và . thuộc tia đối của tia sao cho là trung điểm của và là trung điểm của . Chứng minh rằng gặp nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác . Lời giải : Dễ dàng […]
Bài toán : Cho tam giác nội tiếp ngoại tiếp với là tiếp điểm với trên . là trung điểm của . là hình chiếu của lên . Chứng minh rằng và trung trực của gặp nhau trên . Lời giải : Gọi theo thứ tự là tâm bàng tiếp góc của tam giác . […]
Bài toán : Cho tam giác nhọn nội tiếp trực tâm , đối xứng với qua . là các đường cao. cắt tại khác . Chứng minh rằng chia đôi . Lời giải : Gọi là giao của và , là chân đường cao từ xuống . Dễ thấy : Cũng dễ thấy : Chú […]
Bài toán : Cho là số nguyên dương không phải là lập phương của một số tự nhiên. Chứng minh bất đẳng thức : Lời giải : Ta viết BĐT đã cho thành : Ta chứng minh một kết quả mạnh hơn : Đặt thì . Dẫn đến : Bài toán hoàn tất.
Bài toán : Cho tam giác nội tiếp . Phân giác cắt tại khác . là trung điểm của . Trung trực của cắt các đường tròn theo thứ tự tại sao cho cùng phía với và cùng phía với . Gọi giao của và là . Chứng minh . Lời giải : Trước hết […]
Bài toán : Cho tam giác , phân giác . là hai điểm trên sao cho . là hình chiếu của lên . là hình chiếu của lên , là hình chiếu của lên . Chứng minh là phân giác góc . Lời giải : Vì đẳng giác trong góc nên theo định lí Steiner […]
Bài toán : Cho tam giác nội tiếp , . Tiếp tuyến tại của cắt tại . đối xứng với qua . Trên lấy điểm khác sao cho . giao tại . cắt tại . Chứng minh rằng . Lời giải : Ta có : Như vậy tứ giác nội tiếp. Đồng thời . Suy […]
Bài toán : Cho tam giác và điểm trên cạnh . Các đường tròn cắt tại . cắt tại . là giao của . Chứng minh khi thay đổi thì luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải : Ta có : Do vậy bốn điểm đồng viên với là giao của . Từ […]
Bài toán : Cho tam giác , phân giác , là điểm di chuyển trên . là hình chiếu của lên . là trung điểm của , là hình chiếu của lên . Chứng minh luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải : Gọi là trung điểm của cung của đường tròn tâm […]