Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=9$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=2(a+b-c)+abc$$

Lời giải :

Đặt $f(a,b,c)=VT$. Ta xét hiệu :

$f\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},c\right)-f(a,b,c)$$=2\sqrt{2(a^2+b^2)}-2(a+b)+c\left(\frac{a^2+b^2}{2}-ab\right)$$=(a-b{)}^2.\left[\frac{2}{\sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b}+\frac{c}{2}\right]$$\ge 0$

Như vậy ta có :

$$f\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},c\right)\ge f(a,b,c)$$

Ta đi tìm giá trị lớn nhất của

$f\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},c\right)$$=f\left(\sqrt{\frac{9-c^2}{2}},\sqrt{\frac{9-c^2}{2}},c\right)$$=g(c)$$=2\sqrt{2(9-c^2)}+\frac{c(9-c^2)}{2}-2c$

Ta có :

$$g^{\prime }(c)=\frac{-2\sqrt{2}c}{\sqrt{9-c^2}}+\frac{5-3c^2}{2}$$

$$g^{\prime }(c)=0\iff \{\begin{array}{c}{c}^2<5/3\\ (c^2-1)(3c^2-25)(c^2-3)=0\end{array}\iff c=1$$

Bằng cách lập bảng biến thiên ta được $g(c{)}_{max}=10$ khi $c=1$.

Từ đó $P_{max}=10$ khi $a=b=2,c=1$