Bài toán (Vietnamese Team Selection Test 2009) Tìm tất cả các hằng số $k$ sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương $a,b,c$ : \[\left ( \dfrac{a}{b+c}+k \right )\left ( \dfrac{b}{c+a}+k \right )\left ( \dfrac{c}{a+b}+k \right )\geq \left ( k+\dfrac{1}{2} \right )^3\] Lời giải : Cho hai biến $b,c$ bằng nhau ta được : \[\left ( \dfrac{a}{2b}+k \right )\left ( \dfrac{b}{b+a}+k \right )^2\geq \left ( k+\dfrac{1}{2} \right )^3\] Cho $a\rightarrow 0$ ta được : \[8k(k+1)^2\geq (2k+1)^3\Leftrightarrow 4k^2+2k\geq 1\Leftrightarrow k\in \left ( -\infty ,\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4} \right ]\cup \left [\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4},+\infty \right )\] Ta chứng minh đây là toàn bộ giá trị $k$ cần tìm. Đặt $x=\dfrac{2a}{b+c},y=\dfrac{2b}{c+a},z=\dfrac{2c}{a+b}$ thì $xy+yz+zx+xyz=4$. Ta cần chứng minh : \[(x+2k)(y+2k)(z+2k)\geq (2k+1)^3\Leftrightarrow xyz+2k(xy+yz+zx)+4k^2(x+y+z)+8k^3\geq (2k+1)^3\] Theo kết quả VMO 1996, ta được : \[x+y+z\geq xy+yz+zx\] Từ đó : \[xyz+2k(xy+yz+zx)+4k^2(x+y+z)+8k^3\geq xyz+2k(xy+yz+zx)+4k^2(xy+yz+zx)+8k^3=(xy+yz+zx+xyz)+(4k^2+2k-1)(xy+yz+zx)+8k^3=8k^3+4+(4k^2+2k-1)(xy+yz+zx)\] Hơn nữa ta có : \[xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}\Rightarrow xyz\leq \dfrac{\sqrt{(xy+yz+zx)^3}}{3\sqrt{3}}\] Từ đó : \[4=xy+yz+zx+xyz\leq xy+yz+zx+\dfrac{\sqrt{(xy+yz+zx)^3}}{3\sqrt{3}}=t^2+\dfrac{t^3}{3\sqrt{3}}\;\;(t=\sqrt{xy+yz+zx})\Rightarrow t\geq \sqrt{3}\Rightarrow xy+yz+zx\geq 3\] Suy ra : \[xyz+2k(xy+yz+zx)+4k^2(x+y+z)+8k^3\geq 8k^3+4+(4k^2+2k-1)(xy+yz+zx)\geq 8k^3+4+3(4k^2+2k-1)=(2k+1)^3\] Bài toán hoàn tất.

Inequality

Bài toán (Vietnamese Team Selection Test 2009)

Tìm tất cả các hằng số $k$ sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương $a, b, c$ :

$(\frac{a}{b + c} + k) (\frac{b}{c + a} + k) (\frac{c}{a + b} + k) \geq (k + \frac{1}{2})^{3}$

Lời giải :

Cho hai biến $b, c$ bằng nhau ta được :

$(\frac{a}{2 b} + k) (\frac{b}{b + a} + k)^{2} \geq (k + \frac{1}{2})^{3}$

Cho $a \to 0$ ta được :

$8 k (k + 1)^{2} \geq (2 k + 1)^{3} \Leftrightarrow 4 k^{2} + 2 k \geq 1 \Leftrightarrow k \in (- \infty, \frac{- 1 - 5}{4}] \cup [\frac{- 1 + 5}{4}, + \infty)$

Ta chứng minh đây là toàn bộ giá trị $k$ cần tìm.

Đặt $x = \frac{2 a}{b + c}, y = \frac{2 b}{c + a}, z = \frac{2 c}{a + b}$ thì $x y + y z + z x + x y z = 4$ . Ta cần chứng minh :

$(x + 2 k) (y + 2 k) (z + 2 k) \geq (2 k + 1)^{3} \Leftrightarrow x y z + 2 k (x y + y z + z x) + 4 k^{2} (x + y + z) + 8 k^{3} \geq (2 k + 1)^{3}$

Theo kết quả VMO 1996, ta được :

$x + y + z \geq x y + y z + z x$

Từ đó :

$x y z + 2 k (x y + y z + z x) + 4 k^{2} (x + y + z) + 8 k^{3} \geq x y z + 2 k (x y + y z + z x) + 4 k^{2} (x y + y z + z x) + 8 k^{3} = (x y + y z + z x + x y z) + (4 k^{2} + 2 k - 1) (x y + y z + z x) + 8 k^{3} = 8 k^{3} + 4 + (4 k^{2} + 2 k - 1) (x y + y z + z x)$

Hơn nữa ta có :

$x y + y z + z x \geq 3 3 (x y z)^{2} \Rightarrow x y z \leq \frac{( x y + y z + z x ) ^{3}}{3 3}$

Từ đó :

$4 = x y + y z + z x + x y z \leq x y + y z + z x + \frac{( x y + y z + z x ) ^{3}}{3 3} = t^{2} + \frac{t ^{3}}{3 3} (t = x y + y z + z x) \Rightarrow t \geq 3 \Rightarrow x y + y z + z x \geq 3$

Suy ra :

$x y z + 2 k (x y + y z + z x) + 4 k^{2} (x + y + z) + 8 k^{3} \geq 8 k^{3} + 4 + (4 k^{2} + 2 k - 1) (x y + y z + z x) \geq 8 k^{3} + 4 + 3 (4 k^{2} + 2 k - 1) = (2 k + 1)^{3}$

Bài toán hoàn tất.

Inequality

Đề bài

Mô tả