Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$, $P$ là điểm di chuyển trên $AD$. $E,F$ là hình chiếu của $P$ lên $CA,AB$. $M$ là trung điểm của $BC$, $H$ là hình chiếu của $M$ lên $EF$. Chứng minh $PH$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

Gọi $N$ là trung điểm của cung $BAC$ của đường tròn $(ABC)$ tâm $O$.

Ta chứng minh $PH$ luôn đi qua $N$ bằng cách gọi $PN$ giao $EF$ tại $H^{\prime }$ và chứng minh $H$ trùng $H^{\prime }$.

Gọi $K$ là giao của $AP,EF$. Dễ thấy hai tam giác vuông $AEP,NCQ$ đồng dạng và có hai đường cao tương ứng là $EK,CM$. Từ đó dễ có :

$$\frac{MN}{MQ}=\frac{KA}{KP}$$

Mà do $AN$ song song $EF$ nên $\frac{KA}{KP}=\frac{H^{\prime }N}{H^{\prime }P}$. Kéo theo $\frac{H^{\prime }N}{H^{\prime }P}=\frac{MN}{MQ}$. Theo Thales đảo thì $M{H}^{\prime }$ song song $AD$, suy ra $H$ trùng $H^{\prime }$. Vậy $PH$ luôn đi qua điểm $N$ cố định.