Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $AB<AC$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. $S$ đối xứng với $T$ qua $AB$. Trên $AS$ lấy điểm $E$ khác $A$ sao cho $TA=TE$. $BE$ giao $(O)$ tại $F$. $AS$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh rằng $DA=DE$.

Lời giải :

Ta có :

$\angle EDB$$=180^0-\angle TAD-\angle ATD$$=180^0-2\angle TAB-(\angle ABC-\angle TAB)$$=(180^0-\angle ABC)-\angle TAB$$=\angle AFC-\angle AFB$$=\angle EFC$

Như vậy tứ giác $FEDC$ nội tiếp.

Đồng thời $T{E}^2=T{A}^2=TB.TC$. Suy ra $\Delta TBE\sim \Delta TEC$. Ta có các biểu diễn :

$\angle AFD$$=\angle AFB+\angle BFD$$=\angle AFB+\angle ECD$$=\angle AFB+\left(\angle EDB-\angle DEC\right)$$=\angle AFB+\angle EFC-\angle DEC$$=\angle AFC-\angle DEC$$=\angle TAC-\angle DEC$

$$\angle FAD=\angle TAF-\angle TAD=\angle TAC+\angle FAC-\angle TAD$$

Do đó để chứng minh $DA=DF$ ta chứng minh tam giác $DAF$ cân tại $D$, tức :

$\angle AFD$$=\angle FAD$$\iff \angle TAC-\angle DEC$$=\angle TAC+\angle FAC-\angle TAD$$\iff \angle FAC+\angle DEC$$=\angle TAD$

Điều này là đúng vì :

$\angle TAD$$=\angle TEA$$=\angle ETC+\angle EDB$$=\angle ETC+\left(\angle DEC+\angle ECT\right)$$=\angle DEC+(180^0-\angle TEC)$$=\angle DEC+(180^0-\angle TBE)$$=\angle DEC+\angle EBC$$=\angle DEC+\angle FAC$

Bài toán được chứng minh.