Inequality

Bài toán : Cho các số không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng :

$$3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd\ge 16$$

Lời giải :

Cố định hai biến $c,d$, khi đó tổng $a+b$ cũng cố định. Lúc này vế trái được viết thành :

$$3\left[(a+b{)}^2-2ab\right]+3(c^2+d^2)+4abcd$$

là một hàm bậc nhất theo biến $ab$ nên sẽ đạt cực trị tại biên của biến. Mà $ab\in \left[0,\frac{(a+b{)}^2}{4}\right]$ nên vế trái đạt cực trị tại $ab=0$ hoặc $ab=(a+b{)}^2/4$. Tức là tại $a=b,a=0$ hoặc $b=0$.

Tương tự khi cố định hai biến $a,b$. Bài toán quy về hai trường hợp.

Nếu có một biến bằng $0$, giả sử $d=0$, cần chứng minh :

$$3(a^2+b^2+c^2)\ge 16$$

Điều này đúng theo Cauchy-Schwarz.

Nếu $a=b,c=d$ thì $a+c=2$ và cần chứng minh :

$$6(a^2+c^2)+4a^2{c}^2\ge 16\iff a^2{c}^2-3ac+2\ge 0$$

Điều này đúng với $ac\le (a+c{)}^2/2=1$