Bài toán : Cho tam giác nhọn trực tâm , bán kính ngoại tiếp . Chứng minh rằng các đường tròn có một điểm chung khi và chỉ khi :
.
Lời giải :
Ta có thể tính được :
Từ đó :
Ta có :
Đẳng thức phải xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Tức là :
đều.
Nếu có một điểm chung thì ta có :
Từ đó :
Dễ dàng thấy rằng :
Như vậy :
Dễ nhận ra kết quả quen thuộc sau : là tâm tỉ cự của hệ điểm với các hệ số tương ứng là . Từ đó theo hệ thức Jacobi ta được :
Cũng dễ dàng nhìn ra kết quả quen thuộc . Từ đó có :
Từ đó :
Nhưng lại có :
Và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều.
Như vậy :
có một điểm chung đều.
Từ ta được điều cần chứng minh.
Bài toán : Cho tam giác nhọn trực tâm , bán kính ngoại tiếp . Chứng minh rằng các đường tròn có một điểm chung khi và chỉ khi : . Lời giải : Ta có thể tính được : Từ đó : Ta có : Đẳng thức phải xảy ra khi và chỉ khi […]
Nguồn: julielltv