Number Theory

Bài toán : Cho $n$ là số nguyên dương không phải là lập phương của một số tự nhiên. Chứng minh bất đẳng thức :

$$\left\{\sqrt[3]{n}\right\}>\frac{1}{3\sqrt[3]{n^2}}$$

Lời giải :

Ta viết BĐT đã cho thành :

$$3\sqrt[3]{n^2}\left(\sqrt[3]{n}-\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor \right)>1$$

Ta chứng minh một kết quả mạnh hơn :

$\left(\sqrt[3]{n}-\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor \right)\left(\sqrt[3]{n^2}+\sqrt[3]{n}.\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor +{\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor }^2\right)$$>1$$\iff n-{\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor }^3$$>1$

Đặt $n=k^3+m(1\le m\le 3k^2+3k)$ thì $\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor =k$. Dẫn đến :

$$n-{\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor }^3=n-k^3=m\ge 1$$

Bài toán hoàn tất.