Inequality

Bài toán : Cho các số thực $a,b,c\in \left[\frac{1}{3},3\right]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$$P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$$

Lời giải :

Đặt $x=\frac{b}{a},y=\frac{c}{b},z=\frac{a}{c}$ thì $xyz=1$ và $x,y,z\in \left[\frac{1}{9},9\right]$.

Lúc này $P$ trở thành :

$$P(x,y,z)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}$$

Ta chứng minh $P(\sqrt{xy},\sqrt{xy},z)\le P(x,y,z)$. Thật vậy :

$P(\sqrt{xy},\sqrt{xy},z)$$\le P(x,y,z)$$\iff \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}$$\ge \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$$\iff \left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\right)+\left(\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\right)$$\ge 0$$\iff \frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)\left(1+y\right)+\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)(1+x)}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}$$\ge 0$$\iff {\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2\left(\sqrt{xy}-1\right)$$\ge 0$

Điều này đúng nếu ta giả sử $z=mix\left\{x,y,z\right\}\Rightarrow xy\ge 1$.

Vậy ta được :

$P$$\ge \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+z}$$=\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{xy}{xy+1}$$=\frac{2}{1+t}+\frac{t^2}{t^2+1}$$=f(t)$

Trong đó $1\le t=\sqrt{xy}\le 3$. Ta có :

$f^{\prime }(t)$$=\frac{-2}{(1+t{)}^2}+\frac{2t}{(1+t^2{)}^2}$$=2.\frac{t(1+t{)}^2-(1+t^2{)}^2}{(1+t{)}^2(1+t^2{)}^2}$$=2.\frac{-{\left(\sqrt{t}-1\right)}^2\left(t+\sqrt{t}+1\right)}{(1+t{)}^2(1+t^2{)}^2}$$<0$

Vậy $f$ là hàm nghịch biến, do đó :

$$f\left(t\right)\ge f\left(3\right)=\frac{7}{5}$$

Ta kết luận được :

$$P_{min}=7/5$$, đạt được khi $$a=3,b=1,c=1/3$$.