1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho tam giác nội tiếp , đường cao . Đường tròn nội tiếp tiếp xúc tại . Đường tròn đường kính cắt tại , tại . Chứng minh thẳng hàng. Lời giải : Gọi là trung điểm cung cung không chứa của . Ta lần lượt chứng minh và thẳng hàng. Ta […]
Bài toán : Cho tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại . Một đường thẳng qua cắt tại . Chứng minh rằng với là trung điểm của . Lời giải : Gọi lần lượt là hình chiếu của lên . Chú ý các tứ giác nội tiếp nên ta có : Vậy […]
Bài toán : Cho tam giác nội tiếp , trực tâm và là chân đường cao từ . tùy ý trên và tương ứng đối xứng với qua trung điểm của . giao tại . a) Chứng minh các tam giác có chung trực tâm. b) Chứng minh vuông góc . Lời giải : a) […]
Bài toán (Định lí về cấu trúc nghiệm của phương trình Pell loại 1) Cho là số nguyên dương không chính phương. Xét phương trình . Gỉa sử là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất (nghiệm cơ sở) của . Xét hai dãy số như sau : Chứng minh rằng là một nghiệm của khi và […]
Bài toán (Đề thi thử sức – Đồng hành cùng gặp gỡ toán học 2014) Cho dãy số được xác định bởi : Chứng minh rằng với mọi thì là hợp số. Lời giải : Ta giải bài toán tổng quát hơn sau, cho là số nguyên dương và dãy xác định bởi : Ta […]
Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2012) Xét các số tự nhiên lẻ mà và . Chứng minh rằng là các số hạng của dãy số tự nhiên được xác định bởi : và Lời giải : Trước hết ta chứng minh : Thực vậy, ta có : Do lẻ nên . Ngược lại nếu […]
Bài toán (AMM, Problem E2619, Thomas C.Brown) Cho dãy số nguyên xác định bởi : Chứng minh rằng là số chính phương khi và chỉ khi với là số tự nhiên. Lời giải : Quan sát một số số hạng đầu tiên : Ta thấy các số hạng chính phương là và một số hạng […]
Bài toán (Putnam 1999) Cho dãy số xác định bởi : và Chứng minh rằng là một số nguyên và với mọi số tự nhiên . Lời giải : Ta viết công thức xác định dãy dưới dạng : Và . Ta tìm được công thức tổng quát của là : Suy ra : Như […]
Bài toán (MM, Problem 1558, Mansur Boase) Cho dãy số xác định bởi : Chứng minh rằng nếu nguyên tố thì phải là một lũy thừa của . Lời giải : Không khó để tìm ra được công thức tổng quát của là : Trong đó là số hạng thứ của dãy Fibonacci. Tức là […]
Bài toán (International Mathematical Olympiad Shortlist 1988) Cho dãy số nguyên xác định bởi : . Chứng minh rằng khi và chỉ khi . Lời giải : Bổ đề : Cho dãy số xác định bởi và : . Khi đó với nguyên dương bất kỳ, ta có : Chứng minh bổ đề : Ta […]
Bài toán : (Vietnamese Mathematical Olympiad 1992) Cho dãy số nguyên : 1) Với mỗi , gọi là số dư khi chia cho . Chứng minh rằng dãy là dãy tuần hoàn. 2) Chứng minh rằng tồn tại vô số số của dãy sao cho : Lời giải : 1) Điều cần chứng minh hiển […]
Bài toán (Tổng quát Vietnamese Team Selection Test 2012) Cho là một số nguyên tố lẻ và xét dãy số thỏa và : Chứng minh rằng là một số chính phương với mọi số nguyên dương . Lời giải : Xét các đa thức Chebyshev loại I và loại II : Ta có một đẳng […]
Bài toán (Vietnamses Mathematical Olympiad 1987) Cho hai dãy số và xác định bởi : và Chứng minh rằng Lời giải : Chú ý là số nguyên tố, từ đó theo định lí Fermat, ta có : Từ đó : Quy nạp ta được Cũng bằng quy nạp ta được Từ đó dễ thấy điều […]
Bài toán (Bulgarian Mathematical Olympiad 2001) Xét dãy số thỏa mãn và : với mọi . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , luôn tồn tại hai dãy sao cho : Gợi ý giải : Ta xây dựng dãy mới như sau : Ta có một tính chất đặc biệt sau của dãy […]
Bài toán : Cho dãy số xác định bởi và : . Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì . (Dãy số xác định như trên được gọi là Dãy Perrin) Lời giải : Phương trình đặc trưng của dãy là : Gọi là ba nghiệm của phương trình này thì luôn được […]
Bài toán : Cho dãy số xác định bởi : a) Chứng minh rằng . b) (Chọn đội tuyển HSG THPT Chuyên Khoa học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội 2010) Chứng minh rằng dãy trên chứa vô hạn các số hạng nguyên dương. Lời giải : a) Ta chứng minh bằng quy nạp, dễ thấy với […]
Bài toán (China 1991) Cho dãy số nguyên thỏa mãn với mọi tự nhiên. Gỉa sử . Chứng minh có vô hạn số hạng của dãy chia hết cho . Lời giải : Gọi là số dư của khi chia cho ứng với mỗi . Ta chứng minh dãy tuần hoàn. Xét dãy gồm các […]
Bài toán : Xét phương trình . a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình trên có nghiệm nguyên dương . b) Với các giá trị tìm được, hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình. Lời giải : a) Cố định và xét tập : Trong chọn […]
Bài toán : (International Mathematical Olympiad 1981) Tìm giá trị lớn nhất của trong đó là các số nguyên thỏa mãn và . Lời giải : Trước hết ta sẽ chứng minh rằng với cặp nguyên dương bất kỳ thỏa mãn thì đều tồn tại sao cho với là số hạng thứ của dãy Fibonacci […]
Bài toán : Xét dãy số thỏa mãn : a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì . b) Chứng minh rằng với là số nguyên dương bất kỳ thì dãy chứa vô hạn các số hạng chia hết cho . Lời giải : a) Ta thấy Vậy ta có dự đoán : […]