Arithmetic Sequence

Bài toán : Xét dãy số $(a_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{a}_0=0,a_1=1,a_2=2,a_3=6\\ a_{n+4}=2a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n\end{array}$$

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $n\mid a_n$.

b) Chứng minh rằng với $k$ là số nguyên dương bất kỳ thì dãy $\frac{a_1}{1},\frac{a_2}{2},\frac{a_3}{3},...,\frac{a_n}{n}$ chứa vô hạn các số hạng chia hết cho $k$.

Lời giải :

a) Ta thấy $\frac{a_1}{1}=1=F_1,\frac{a_2}{2}=1=F_2,\frac{a_3}{3}=2=F_3,\frac{a_4}{4}=3=F_4,\frac{a_5}{5}=5=F_5,...$

Vậy ta có dự đoán :

$$a_n=n.F_n$$

Và chứng minh dự đoán này bằng quy nạp, giả sử điều đó đúng đến $n+3$. Xét với $n+4$ :

$a_{n+4}$$=2a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n$$=2(n+3)F_{n+3}+(n+2)F_{n+2}-2(n+1)F_{n+1}-n{F}_n$$=2(n+3)F_{n+3}+(n+2)F_{n+2}-2(n+1)F_{n+1}-n(F_{n+2}-F_{n+1})$$=2(n+3)F_{n+3}+2F_{n+2}-(n+2)F_{n+1}$$=2(n+3)F_{n+3}+2F_{n+2}-(n+2)(F_{n+3}-F_{n+2})$$=(n+4)(F_{n+3}+F_{n+2})$$=(n+4)F_{n+4}$

Theo nguyên lí quy nạp ta có $a_n=n.F_n$ với mọi $n$ nguyên dương, suy ra $n\mid a_n$ với mọi $n$ nguyên dương.

Điều phải chứng minh.

b) Nhận thấy dãy nói ở đề bài chính là dãy Fibonacci.

Từ đó theo định luật tuần hoàn của dãy số dư, ta có dãy số dư $(r_n)$ là dãy tuần hoàn. Trong đó $r_n$ là số dư khi chia $F_n$ cho $k$ với mỗi $n$. Hơn nữa $r_0=0$ vì $F_0=0$, điều này đồng nghĩa tồn tại vô hạn số hạng của dãy Fibonacci là bội của $k$. Điều phải chứng minh.