Arithmetic Sequence

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2012)

Xét các số tự nhiên lẻ $a,b$ mà $a\mid b^2+2$ và $b\mid a^2+2$. Chứng minh rằng $a,b$ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n)$ được xác định bởi :

$$v_1=v_2=1$$ và $$v_n=4v_{n-1}-v_{n-2},\forall n\ge 2$$

Lời giải :

Trước hết ta chứng minh :

$$b\mid a^2+2\wedge a\mid b^2+2\iff ab\mid a^2+b^2+2$$

Thực vậy, ta có :

 $$b\mid a^2+2\wedge a\mid b^2+2\Rightarrow ab\mid (a^2+2)(b^2+2)\Rightarrow ab\mid 2(a^2+b^2+2)$$

Do $a,b$ lẻ nên $ab\mid a^2+b^2+2$.

Ngược lại nếu có $ab\mid a^2+b^2+2$ thì dễ dàng suy ra ngay được $b\mid a^2+2$ và $a\mid b^2+2$.

Từ đó giả thiết đề bài tương đương với việc tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho :

$$a^2+b^2+2=kab$$.

Ta chứng minh $k=4$ bằng Vieta Jumping. Cố định $k$ và xét tập :

$S$$=\left\{a,b\in {\left({\mathbb{Z}}^{+}\right)}^2|k=\frac{a^2+b^2+2}{ab}\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$

Trong $S$ ta chọn ra cặp $(A,B)$ mà tổng $A+B$ là nhỏ nhất. Không giảm tổng quát, ta giả sử $A\ge B$.

Xét phương trình bậc hai ẩn $t$ :

$$t^2-ktB+B^2+2=0$$

Dễ thấy phương trình này có một nghiệm là $A$, gọi nghiệm còn lại là $t_0$. Theo định lí Viete :

$$\{\begin{array}{c}{t}_0+A=kB\\ t_{0}A=B^2+2\end{array}$$

Từ đây suy ra được $t_0$ nguyên dương. Chú ý vì $A+B$ là nhỏ nhất nên ta được $t_0\ge A$.

Suy ra $t_0+A=kB\ge 2A$ hay $\frac{A}{B}\le \frac{k}{2}$.

Nếu có một trong hai số $a,b$ bằng $1$, giả sử $b=1$ thì $ka=a^2+3$, dễ suy ra $k=4$.

Nếu cả hai số $a,b\ge 2$. Ta có $A\ge B\ge 2$. Thì :

$$k=\frac{A}{B}+\frac{B}{A}+\frac{2}{AB}\le \frac{k}{2}+1+\frac{2}{2.2}\iff k\le 3$$

Lại theo AM-GM :

$$kab=a^2+b^2+2\ge 2(ab+1)\Rightarrow k\ge 3$$

Ta được $k=3$.

Lúc này :

$$A^2+B^2+2=3AB$$

Từ đẳng thức này dễ dàng suy ra phải có một trong hai số chia hết cho $3$, giả sử $3\mid A$ thì $A\ge 3$.

Nếu $B=1$ ta gặp mâu thuẫn, do đó $B\ge 2$. Tức $AB\ge 6$.

Nhưng lúc này :

$$3=\frac{A}{B}+\frac{B}{A}+\frac{2}{AB}\le \frac{3}{2}+1+\frac{2}{6}$$

Điều này vô lí. Vậy $k=4$ là giá trị duy nhất cần tìm.

Ta chứng minh xong việc các số $a,b$ thỏa giả thiết thì cũng phải thỏa mãn phương trình :

$$a^2+b^2+2=4ab(1)$$.

Bài toán sẽ hoàn tất nếu ta chỉ rằng nếu cặp $(a,b)$ bất kỳ thỏa mãn $(1)$ thì sẽ luôn tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $a=x_n,b=x_{n+1}$.

Gỉa sử $(u_0,u_1)$ là một cặp số nguyên dương bất kỳ thỏa $(1)$. Ta hoàn toàn có quyền giả sử $u_0>u_1$ .Nếu $u_0=1$ thì $u_1=1$, tức tồn tại $n=1$ để $u_0=v_1,u_1=v_2$. Tương tự khi xét $u_1=1$. Do đó ta chỉ cần xét $u_0,u_1>1$.

Khi đó ta chọn cặp $(u_1,u_2)=(u_1,4u_1-u_0)$, dễ thấy $u_1,u_2$ nguyên dương và $(u_1,u_2)$ cũng thỏa mãn $(1)$.

Lúc này ta chú ý $4u_1-u_0<u_0$ vì $4u_1-u_0=\frac{u_1^2+2}{u_0}-u_0=\frac{2-(u_0-u_1)(u_0+u_1)}{u_0}\le 0$.

Suy ra :

$$u_1+u_2=u_1+(4u_1-u_0)<u_1+u_0$$.

Tương tự ta cũng chọn được cặp $(u_2,u_3)=(u_2,4u_2-u_1)$ cũng thỏa $u_2,u_3$ nguyên dương, cũng thỏa $(1)$ và $u_2+u_3<u_1+u_2<u_1+u_0$.

Cứ tiếp tục quá trình này, ta được :

$$...<u_i+u_{i+1}<...<u_1+u_2<u_1+u_0$$

Thế nhưng $u_1+u_0>2$ nên phải tồn tại $k$ sao cho $u_k+u_{k+1}=2$, suy ra $u_k=u_{k+1}=1$.

Tức là ta có :

$$u_k=v_2,u_{k+1}=v_1$$.

Ta có thể thấy được cách xác định $u_n$ là như sau :

$$u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n$$ hay $$u_n=4u_{n+1}-u_{n+2}$$.

Từ đó :

$$u_{k-1}=4u_k-u_{k+1}=4v_2-v_1=v_3$$

$$u_{k-2}=4u_{k-1}-u_k=4v_3-v_2=v_4$$

$$...$$

$$u_1=4u_2-u_3=4v_k-v_{k-1}=v_{k+1}$$

$$u_0=4u_1-u_2=4v_{k+1}-v_k=v_{k+2}$$.

Như vậy tồn tại $n=k+1$ để với cặp $(u_0,u_1)$ bất kỳ thỏa $(1)$ thì ta có $(u_1,u_0)=(v_{k+1},v_{k+2})$.