Arithemtic Sequence

Bài toán : (International Mathematical Olympiad 1981)

Tìm giá trị lớn nhất của $m^{2} + n^{2}$ trong đó $m, n$ là các số nguyên thỏa mãn $1 \leq m, n \leq 1981$ và

$(n^{2} - mn - m^{2})^{2} = 1$ .

Lời giải :

Trước hết ta sẽ chứng minh rằng với cặp $(x, y)$ nguyên dương bất kỳ thỏa mãn $(x^{2} - x y - y^{2})^{2} = 1 (1)$ thì đều tồn tại $n$ sao cho $x = F_{n}, y = F_{n + 1}$ với $F_{n}$ là số hạng thứ $n$ của dãy Fibonacci :

${F_{0} = 0, F_{1} = 1 F_{n + 1} = F_{n} + F_{n - 1}, n \geq 1$

Ta gọi $(u_{1}, u_{0})$ là một cặp số nguyên dương bất kỳ thỏa $(1)$ . Vì các cặp $(0, 1), (1, 0), (1, 1)$ đều thỏa $(1)$ và dễ dàng thấy những giá trị này đều thuộc dãy Fibonacci nên ta chỉ xét với $u_{1}, u_{0} > 1$ .

Ta có :

$u_{0} (u_{0} - u_{1}) = u_{1}^{2} \pm 1 > 0 \Rightarrow u_{0} > u_{1}$

Ta chọn $u_{2} = u_{0} - u_{1}$ . Thế thì $u_{2}$ nguyên dương. Hơn nữa dễ kiểm tra được cặp $(u_{1}, u_{2})$ cũng sẽ thỏa $(1)$ . Để ý :

$u_{2} + u_{1} = (u_{0} - u_{1}) + u_{1} = u_{0} < u_{1} + u_{0}$

Chọn tiếp cặp $(u_{2}, u_{3}) = (u_{2}, u_{1} - u_{2})$ thì $u_{3}$ nguyên dương và cặp $(u_{2}, u_{3})$ cũng thỏa $(1)$ và cũng thu được $u_{3} + u_{2} < u_{2} + u_{1}$ .

Cứ tiếp tục quá trình này :

$... < u_{i + 1} + u_{i} < ... < u_{3} + u_{2} < u_{2} + u_{1} < u_{1} + u_{0}$

Hơn nữa $u_{1} + u_{0}$ bị chặn dưới bởi $2$ nên phải tồn tại $k$ sao cho $u_{k + 1} + u_{k} = 2$ , kéo theo $u_{k} = u_{k + 1} = 1$ .

Điều này tức là :

$u_{k} = F_{2}, u_{k + 1} = F_{1}$ .

Suy ra :

$u_{k - 1} = u_{k} + u_{k + 1} = F_{2} + F_{1} = F_{3}$

$u_{k - 2} = u_{k - 1} + u_{k} = F_{3} + F_{2} = F_{4}$

…

$u_{1} = u_{2} + u_{3} = F_{k} + F_{k - 1} = F_{k + 1}$

$u_{0} = u_{1} + u_{2} = F_{k + 1} + F_{k} = F_{k + 2}$

Như vậy với cặp $(u_{1}, u_{0})$ bất kỳ thỏa $(1)$ thì tồn tại $n = k + 1$ để mà $u_{1} = F_{k + 1}, u_{0} = F_{k + 2}$ .

Điều này chứng tỏ mọi nghiệm của $(1)$ là $(F_{n}, F_{n + 1})$ .

Ta liệt kê các số hạng của dãy Fibonacci không vượt quá $1981$ :

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597$

Ta kết luận được $ma x (m^{2} + n^{2}) = 98 7^{2} + 159 7^{2}$ .

Arithemtic Sequence

Đề bài

Mô tả