Arithmetic Sequence

Bài toán (MM, Problem 1558, Mansur Boase)

Cho dãy số $(K_n)$ xác định bởi :

$$K_1=2,K_2=8,K_{n+2}=3K_{n+1}-K_n+5.(-1{)}^n$$

Chứng minh rằng nếu $K_n$ nguyên tố thì $n$ phải là một lũy thừa của $3$.

Lời giải :

Không khó để tìm ra được công thức tổng quát của $(K_n)$ là :

$K_n$$=(-1{)}^n+{\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}^n$$=(-1{)}^n+{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{2n}+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{2n}$$=\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{3n}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{3n}}{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n}$$=\frac{F_{3n}}{F_n}$

Trong đó $F_n$ là số hạng thứ $n$ của dãy Fibonacci. Tức là :

$F_n$$=\frac{1}{\sqrt{5}}\left({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right)$

Đặt $n=3^k.m$ với $m$ nguyên dương và $\gcd (m,3)=1$. Ta có :

$K_n$$=\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{3^{k+1}.m}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{3^{k+1}}}{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{3^k.m}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{3^k.m}}$$=\frac{a^{3m}-b^{3m}}{a^m-b^m}$$=\frac{a^3-b^3}{a-b}.\frac{a^{3(m-1)}+a^{3(m-2)}.b^3+...+b^{3(m-1)}}{a^{m-1}+a^{m-2}b+...+b^{m-1}}$$=\frac{F_{3^{k+1}}}{F_{3^k}}.Q$

Trong đó $a={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{3^k},b={\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{3^k}$ và :

$$Q=\frac{a^{3(m-1)}+a^{3(m-2)}.b^3+...+b^{3(m-1)}}{a^{m-1}+a^{m-2}b+...+b^{m-1}}$$

Do $K_n$ và $\frac{F_{3^{k+1}}}{F_{3^k}}$ nguyên nên $Q$ nguyên.

Hơn nữa do ta có $K_n$ nguyên tố nên hoặc $\frac{F_{3^{k+1}}}{F_{3^k}}=1$ hoặc $K_n=\frac{F_{3^{k+1}}}{F_{3^k}}=K_{3^k}$.

Rõ ràng không thể xảy ra trường hợp $\frac{F_{3^{k+1}}}{F_{3^k}}=1$ vì khi đó :

$$F_{3^{k+1}}=F_{3^k}$$

Điều này vô lí vì dãy Fibonacci là dãy tăng.

Từ đó phải có :

$$K_n=K_{3^k}(\ast )$$

Hơn nữa trong công thức xác định dãy ta thay $n$ bởi $n+1$ :

$$K_{n+3}=3K_{n+2}-K_{n+1}+5(-1{)}^{n+1}$$

Cộng vế theo vế :

$K_{n+3}+K_{n+2}$$=3K_{n+2}-K_{n+1}+5(-1{)}^{n+1}+3K_{n+1}-K_n+5(-1{)}^n$$\iff K_{n+3}$$=2K_{n+2}+2K_{n+1}-K_n$

Từ đây dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp dãy $(K_n)$ tăng. Do đó từ $(\ast )$ suy ra $n=3^k$.