Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, đường cao $AH$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Đường tròn đường kính $AI$ cắt $(O)$ tại $M$, $AH$ tại $N$. Chứng minh $M,N,D$ thẳng hàng.

Lời giải :

Gọi $T$ là trung điểm cung cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Ta lần lượt chứng minh $M,D,T$ và $N,D,T$ thẳng hàng.

Ta có :

$$\angle MFB=180^0-\angle MFA=180^0-\angle MEA=\angle MEC$$

$$\angle FBM=\angle ECM$$

Từ đó có hai tam giác $MFB,MEC$ đồng dạng, suy ra :

$$\frac{BF}{EC}=\frac{MB}{MC}\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{MB}{MC}$$

Vậy $MD$ là phân giác góc nội tiếp $BMC$ nên đi qua trung điểm $T$ của cung $BC$. Tức $M,D,T$ thẳng hàng.

Tiếp theo ta chứng minh $N,D,T$ thẳng hàng.

Điều này đồng nghĩa ta phải chứng minh hai tam giác $DIT,NAT$ đồng dạng, tức :

$\frac{AT}{TI}$$=\frac{AN}{ID}$$\iff \frac{AT}{TB}$$=\frac{AI.sin\angle NIA}{r}$$\iff \frac{sin\angle ABT}{sin\frac{A}{2}}$$=\frac{sin\angle BGA}{sin\frac{A}{2}}$$\iff sin\angle ABT$$=sin\angle BGA$

Điều này đúng vì $\angle ABT=180^0-\angle BAT-\angle BTA=180^0-\frac{\angle A+\angle C}{2}=180^0-\angle BGA$

Bài toán hoàn tất.