Arithmetic Sequence

Bài toán : Cho dãy số xác định bởi $P_{0} = 3, P_{1} = 0, P_{2} = 2$ và :

$P_{n} = P_{n - 2} + P_{n - 3}, n \geq 3$ .

Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì $p ∣ x_{p}$ .

(Dãy số xác định như trên được gọi là Dãy Perrin)

Lời giải :

Phương trình đặc trưng của dãy là :

$t^{3} - t - 1 = 0$

Gọi $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ là ba nghiệm của phương trình này thì $x_{n}$ luôn được biểu diễn dưới dạng :

$x_{n} = A t_{1}^{n} + B t_{2}^{n} + C t_{3}^{n}$

Ta có :

$⎩ ⎨ ⎧ x_{0} = A + B + C = 3 x_{1} = A t_{1} + B t_{2} + C t_{3} = 0 x_{2} = A t_{1}^{2} + B t_{2}^{2} + C t_{3}^{2} = 2$

Hơn nữa theo định lí Viete ta có :

$t_{1} + t_{2} + t_{3} = 0, t_{1} t_{2} + t_{2} t_{3} + t_{3} t_{1} = - 1, t_{1} t_{2} t_{3} = 1$ .

Ta được :

$⎩ ⎨ ⎧ A + B + C = 3 A t_{1} + B t_{2} + C t_{3} = t_{1} + t_{2} + t_{3} A t_{1}^{2} + B t_{2}^{2} + C t_{3}^{2} = t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + t_{3}^{2} \Rightarrow A = B = C = 1$

Như vậy thì :

$x_{n} = t_{1}^{n} + t_{2}^{n} + t_{3}^{n}$ .

Ta sẽ chứng minh nhận xét sau :

$(w_{1} + w_{2} + ... + w_{n})^{p} \equiv w_{1}^{p} + w_{2}^{p} + ... + w_{n}^{p} (mod p)$

với mọi số nguyên tố $p$ và $w_{1}, w_{2}, ..., w_{n}$ là các số thỏa $w_{1} + w_{2} + ... w_{n}$ nguyên và $w_{1}^{p} + w_{2}^{p} + ... + w_{n}^{p}$ nguyên.

Với $n = 2$ thì bằng khai triển nhị thức Newton và chú ý $C_{p}^{k} \equiv 0 (mod p), \forall k = \overline{0, p - 1}$ , điều cần chứng minh là đúng.

Gỉa sử điều này đúng đến $n$ , xét với $n + 1$ .

Ta đặt $w_{1} + w_{2} + ... + w_{n} = U$ và $w_{1}^{p} + w_{2}^{p} + .... + w_{n}^{p} = V$ thì theo giả thiết quy nạp $U^{p} \equiv V (mod p)$

Ta có :

$(w_{1} + ... w_{n} + w_{n + 1})^{p} = (U + w_{n + 1})^{p} \equiv U^{p} + w_{n + 1}^{p} \equiv V + w_{n + 1}^{p} \equiv w_{1}^{p} + w_{2}^{p} + .... + w_{n + 1}^{p} (mod p)$

Ta quy nạp hoàn tất. Trở lại với bài toán, theo nhận xét :

$t_{1}^{p} + t_{2}^{p} + t_{3}^{p} \equiv (t_{1} + t_{2} + t_{3})^{p} = 0 (mod p)$

Tức là $p ∣ x_{p}$ . Bài toán hoàn tất.

Arithmetic Sequence

Đề bài

Mô tả