Arithmetic Sequence

Bài toán (Bulgarian Mathematical Olympiad 2001)

Xét dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $a_0=4,a_1=22$ và :

$$a_n-6a_{n-1}+a_{n-2}=0$$ với mọi $$n\ge 2$$.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại hai dãy $(x_n),(y_n)$ sao cho :

$$a_n=\frac{y_n^2+7}{x_n-y_n}$$

Gợi ý giải :

Ta xây dựng dãy mới $(c_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{c}_0=a,c_1=b\\ c_n=p{c}_{n-1}+q{c}_{n-2},\forall n\ge 2\end{array}$$

Ta có một tính chất đặc biệt sau của dãy tuyến tính bậc hai :

$c_{n+2}{c}_n-c_{n+1}^2$$=(-q{)}^n.(c_0{c}_2-c_1^2)$$\iff c_{n+2}$$=\frac{c_{n+1}^2+(-q{)}^n.(c_0{c}_2-c_1^2)}{c_n}$

Rõ ràng ta phải chọn $q=1$ và $c_0{c}_2-c_1^2=7$.

Hay là :

$$q=1$$ và $$a(pb+a)-b^2=7$$

Khi đó ta có :

$$c_{n+2}=\frac{c_{n+1}^2+7.(-1{)}^n}{c_n}\Rightarrow c_{2n+2}=\frac{c_{2n+1}^2+7}{c_{2n}}$$

Như vậy ta phải chọn dãy $(c_n)$ để mà $a_n=c_{2n+2},\forall n\in \mathbb{N}$.

Cho $n=0$ thì $c_2=a_0=4$ tức $pb+a=4$. Chọn $n=1$ thì $22=a_1=c_4=p{c}_3+c_2=p(p{c}_2+c_1)+c_2=4p^2+pb+4$.

Ta có hệ sau :

$$\{\begin{array}{c}a(pb+a)-b^2=7\\ pb+a=4\\ 4p^2+pb+4=22\end{array}\iff p=2,a=2,b=1$$

Lời giải :

Ta xét dãy $(c_n)$ :

$$\{\begin{array}{c}{c}_0=2,c_1=1\\ c_n=2c_{n-1}+c_{n-2},\forall n\ge 2\end{array}$$

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $c_{2n+2}=a_n$ với mọi $n$.

Với $n=0,1$ hiển nhiên. Gỉa sử điều đó đúng với $n=k-2$ và $n=k-1$. Ta có :

$c_{2k+2}$$=2c_{2k+1}+c_{2k}$$=2(2c_{2k}+c_{2k-1})+c_{2k}$$=5c_{2k}+(c_{2k}-c_{2k-2})$$=6c_{2k}-c_{2k-2}$$=6a_k-a_{k-1}$$=a_{k+1}$

Theo nguyên lí quy nạp thì $c_{2n+2}=a_n$ với mọi số tự nhiên $n$.

Hơn nữa ta dễ dàng thấy được :

$$c_{n+2}{c}_n-c_{n+1}^2=7.(-1{)}^n\Rightarrow a_n=c_{2n+2}=\frac{c_{2n+1}^2+7}{c_{2n}}$$

Và công việc còn lại của ta chỉ cần chọn hai dãy $(x_n)$ và $(y_n)$ sao cho :

$$y_n=c_{2n+1},x_n=c_{2n}+y_n$$

Hiển nhiên chọn được. Bài toán hoàn tất.