Arithmetic Sequence

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán (Vietnamses Mathematical Olympiad 1987)

Cho hai dãy số $(x_{n})$ và $(y_{n})$ xác định bởi :

$x_{1} = 365, x_{n + 1} = x_{n} (x_{n}^{1986} + 1) + 1622$

và

$y_{1} = 16, y_{n + 1} = y_{n} (y_{n}^{3} + 1) - 1952$

Chứng minh rằng $∣ x_{n} - y_{k} ∣ \neq = 0, \forall n, k \in Z^{+}$

Lời giải :

Chú ý $1987$ là số nguyên tố, từ đó theo định lí Fermat, ta có :

$x_{n + 1} = x_{n}^{1987} + x_{n} + 1622 \equiv 2 x_{n} + 1622 (mod 1987)$

Từ đó :

$x_{2} \equiv 2 x_{1} + 1622 \equiv 365 (mod 1987)$

Quy nạp ta được $x_{n} \equiv 365 (mod 1987)$

Cũng bằng quy nạp ta được $y_{n} \equiv 16 (mod 1987)$

Từ đó dễ thấy điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán (Vietnamses Mathematical Olympiad 1987) Cho hai dãy số và xác định bởi : và Chứng minh rằng Lời giải : Chú ý là số nguyên tố, từ đó theo định lí Fermat, ta có : Từ đó : Quy nạp ta được Cũng bằng quy nạp ta được Từ đó dễ thấy điều […]

Số họcChia hết - Đồng dưDãy số

Nguồn: julielltv