Arithmetic Sequence

Bài toán (Putnam 1999)

Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi :

$$a_1=1,a_2=2,a_3=24$$ và $$a_n=\frac{6a_{n-1}^2{a}_{n-3}-8a_{n-1}{a}_{n-2}^2}{a_{n-2}{a}_{n-3}}(n\ge 4)$$

Chứng minh rằng $a_n$ là một số nguyên và $n\mid a_n$ với mọi số tự nhiên $n$.

Lời giải :

Ta viết công thức xác định dãy dưới dạng :

$a_n$$=\frac{6a_{n-1}^2}{a_{n-2}}-\frac{8a_{n-1}{a}_{n-2}}{a_{n-3}}$$\iff \frac{a_n}{a_{n-1}}$$=\frac{6a_{n-1}}{a_{n-2}}-\frac{8a_{n-2}}{a_{n-3}}$$\iff u_{n-1}$$=6u_{n-2}-8u_{n-3}\left(u_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\right)$

Và $u_1=2,u_2=12$. Ta tìm được công thức tổng quát của $(u_n)$ là :

$$u_n=4^n-2^n$$

Suy ra :

$a_n$$=(4^n-2^n)a_{n-1}$$=(4^n-2^n)(4^{n-1}-2^{n-1})a_{n-2}$$=...$$=\underset{k=1}{\prod ^n}(4^k-2^k)$$=2^{\frac{n(n+1)}{2}}.\underset{k=1}{\prod ^n}.\left(2^k-1\right)$

Như vậy $a_n$ nguyên với mọi $n$. Hơn nữa theo định lí Euler :

$$2^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$

Do $\phi (n)\in \left\{1,2,3,...,n\right\}$ nên $\underset{k=1}{\prod ^n}.\left(2^k-1\right)\equiv 0(\mathrm{mod}n)$. Suy ra $n\mid a_n$ với mọi $n$. Bài toán hoàn tất.