Arithmetic Sequence

Bài toán : (Vietnamese Mathematical Olympiad 1992)

Cho dãy số nguyên $(u_{n})$ :

${u_{1} = 1990, u_{2} = 1989, u_{3} = 2000 u_{n + 3} = 19 u_{n + 2} + 9 u_{n + 1} + u_{n} + 1991, \forall n \geq 1$

1) Với mỗi $n$ , gọi $r_{n}$ là số dư khi chia $u_{n}$ cho $1992$ . Chứng minh rằng dãy $(r_{n})$ là dãy tuần hoàn.

2) Chứng minh rằng tồn tại vô số số $x$ của dãy $(u_{n})$ sao cho :

$1992 ∣ 5 x^{1992} + 4 x^{1975} + 5 x^{1954} + 8 x^{1945} + 2 x^{1930} + 11 x^{2} + 48$

Lời giải :

1) Điều cần chứng minh hiển nhiên đúng theo định luật tuần hoàn của dãy số dư.

2) Chú ý $1992 = 3.83.8$ . Đặt $P (x) = 5 x^{1992} + 4 x^{1975} + 5 x^{1954} + 8 x^{1945} + 2 x^{1930} + 11 x^{2} + 48$

Theo câu 1 ta có dãy $(r_{n})$ tuần hoàn, gọi $t$ là chu kì tuần hoàn của nó. Ta có :

$u_{s t} = u_{s t + 3} - 19 u_{s t + 2} - 9 u_{s t + 1} - 1991 \equiv u_{3} - 19 u_{2} - 9 u_{1} - 1991 \equiv 84 (mod 1992)$

Từ đây ta suy ra :

$u_{s t} \equiv 0 (mod 8) \Rightarrow P (u_{s t}) \equiv P (0) \equiv 0 (mod 3)$

$u_{s t} \equiv 4 (mod 8) \Rightarrow P (u_{s t}) \equiv P (4) \equiv 0 (mod 8)$

$u_{s t} \equiv 1 (mod 83) \Rightarrow P (u_{s t}) \equiv P (1) \equiv 83 (mod 83)$

Hơn nữa $g cd (3, 8) = g cd (3, 83) = g cd (8, 83) = 1$ nên suy ra $P (x_{s t}) \equiv 0 (mod 1992)$ .

Điều phải chứng minh.

Đề bài