Arithmetic Sequence

Bài toán : Xét phương trình $x^{2} + y^{2} + 1 = k x y$ .

a) Tìm tất cả các số $k$ nguyên dương sao cho phương trình trên có nghiệm nguyên dương $(x, y)$ .

b) Với các giá trị $k$ tìm được, hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình.

Lời giải :

a) Cố định $k$ và xét tập :

$S = {(x, y) \in (Z^{+})^{2} ∣ k = \frac{x ^{2} + y ^{2} + 1}{x y} \in Z^{+}}$

Trong $S$ chọn ra cặp $(X, Y)$ thỏa mãn $X + Y$ nhỏ nhất, giả sử $X \geq Y$ .

Xét phương trình :

$t^{2} - k t Y + Y^{2} + 1 = 0$

Dễ thấy phương trình này có nghiệm $t_{1} = X$ , gọi nghiệm còn lại là $t_{0}$ . Theo định lí Viete :

${t_{0} + X = k Y t_{0} X = Y^{2} + 1$

Từ đây dễ thấy $t_{0}$ cũng nguyên dương, vì tính nhỏ nhất của $X + Y$ nên $t_{0} \geq X$ .

Suy ra :

$k Y = t_{0} + X \geq 2 X \Rightarrow \frac{X}{Y} \leq \frac{k}{2}$

Vì $X, Y$ nguyên dương nên $X, Y \geq 1$ . Như vậy :

$k = \frac{X}{Y} + \frac{Y}{X} + \frac{1}{X Y} \leq \frac{k}{2} + 1 + 1 \Leftrightarrow k \leq 4$

Và dấu bằng chỉ xảy ra khi $X = Y, 2 X = k Y, X = Y = 1$ . Mâu thuẫn. Như vậy $k \leq 3$ . Hơn nữa theo AM-GM ta dễ thấy $k \geq 3$ .

Ta được $k = 3$ . Thử lại với $k = 3$ thì $(x, y) = (1, 1)$ là một nghiệm của phương trình.

b) Ta tìm tất cả các nghiệm của phương trình :

$x^{2} + y^{2} + 1 = 3 x y (1)$

Xét dãy số $(u_{n})$ xác định như sau :

${u_{0} = 1, u_{1} = 1 u_{n + 1} = 3 u_{n} - u_{n - 1}, \forall n \geq 1$

Ta chứng minh nếu $(x, y)$ là cặp số nguyên dương bất kỳ thỏa $(1)$ khi và chỉ khi $n$ để $x = x_{n}, y = x_{n + 1}$ .

Thực vậy, dễ kiểm tra được $(x_{n}, x_{n + 1})$ thỏa $(1)$ với mọi $n$ . Gọi $(w_{0}, w_{1})$ là một cặp số nguyên dương bất kỳ thỏa $(1)$ . Nếu $w_{0} = 1$ thì $w_{1} = 1$ , tức tồn tại $n = 0$ để $w_{0} = u_{0}, w_{1} = w_{1}$ . Do đó ta chỉ cần xét $w_{0}, w_{1} > 1$ , giả sử luôn $w_{0} > w_{1}$ .

Khi đó ta chọn $w_{2} = 3 w_{1} - w_{0}$ . Dễ thấy $w_{2}$ nguyên dương và cặp $(w_{1}, w_{2}) = (w_{1}, 3 w_{1} - w_{0})$ lúc này cũng thỏa $(1)$ .

Để ý ta có :

$w_{2} = 3 w_{1} - w_{0} = \frac{w _{1}^{2} + 1}{w _{0}} < w_{0}$

Suy ra $w_{2} + w_{1} < w_{1} + w_{0}$ .

Hoàn toàn tương tự ta chọn được cặp $(w_{2}, w_{3}) = (w_{2}, 3 w_{2} - w_{1})$ cũng thỏa $w_{3}$ nguyên dương và $w_{3} + w_{2} < w_{2} + w_{1}$ .

Cứ tiếp tục quá trình này, ta được :

$... < w_{i + 1} + w_{i} < ... < w_{2} + w_{1} < w_{1} + w_{0}$

Nhưng $w_{1} + w_{0}$ bị chặn dưới bởi $2$ nên phải tồn tại $k$ sao cho :

$w_{k} + w_{k + 1} = 1 \Rightarrow w_{k} = u_{1} = 1, w_{k + 1} = u_{0} = 1$

Từ đó :

$w_{k - 1} = 3 w_{k} - w_{k + 1} = 3 u_{1} - u_{0} = u_{2}$

$w_{k - 2} = 3 w_{k - 1} - w_{k} = 3 u_{2} - u_{1} = u_{3}$

…

$w_{1} = 3 w_{2} - w_{3} = 3 u_{k - 1} - u_{k - 2} = u_{k}$

$w_{0} = 3 w_{1} - w_{2} = 3 u_{k} - 3 u_{k - 1} = u_{k + 1}$ .

Như vậy với cặp $(w_{0}, w_{1})$ bất kỳ thì tồn tại $n = k$ để $(w_{1}, w_{0}) = (u_{k}, u_{k + 1})$ .

Từ đó tất cả các nghiệm của phương trình là $(x, y) = (u_{n}, u_{n + 1})$ với dãy $(u_{n})$ xác định như trên.

Lưu ý : Kỹ thuật xét dãy như trên :

Xét dãy truy hồi tuyến tính cấp hai :

${u_{0} = α, u_{1} = β u_{n + 1} = a u_{n} - u_{n - 1} + b (*)$

Để ý thì thấy :

$\frac{u _{n + 1} + u _{n - 1} - b}{u _{n}} = a = \frac{u _{n + 2} + u _{n} - b}{u _{n + 1}} \Leftrightarrow u_{n + 1}^{2} + u_{n + 1} u_{n - 1} - b u_{n + 1} = u_{n + 2} u_{n} + u_{n}^{2} - b u_{n} \Leftrightarrow u_{n + 1}^{2} - (a u_{n + 1} - u_{n} + b) u_{n} - b u_{n + 1} = u_{n}^{2} - (a u_{n} - u_{n - 1} + b) u_{n - 1} - b u_{n} \Leftrightarrow u_{n + 1}^{2} + u_{n}^{2} - a u_{n + 1} u_{n} - b (u_{n + 1} + u_{n}) = u_{n}^{2} + u_{n - 1}^{2} - a u_{n} u_{n - 1} - b (u_{n} + u_{n - 1})$

Như vậy :

$u_{n}^{2} + u_{n - 1}^{2} - a u_{n} u_{n - 1} - b (u_{n} + u_{n - 1}) = α^{2} + β^{2} - a α β - b (α + β)$

Do đó nếu gặp phương trình có dạng :

$x^{2} + y^{2} - a x y - b (x + y) = α^{2} + β^{2} - a α β - b (α + β)$

Thì ta sẽ xét dãy $(*)$ .

Arithmetic Sequence

Đề bài

Mô tả