Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$ và $D$ là chân đường cao từ $B$. $P$ tùy ý trên $(O)$ và $Q,R,S$ tương ứng đối xứng với $P$ qua trung điểm của $AB,AC,BC$. $AQ$ giao $HR$ tại $F$.

a) Chứng minh các tam giác $BQS,CSR,ARQ$ có chung trực tâm.

b) Chứng minh $DF$ vuông góc $HS$.

Lời giải :

a) Ta có :

$$(HB,HC)\equiv (AB,AC)\equiv (PB,PC)\equiv (SB,SC)(\mathrm{mod}\pi )$$

Như vậy bốn điểm $H,S,B,C$ đồng viên. Tương tự các bộ bốn điểm sau $(A,H,B,Q),(A,H,C,R)$ cũng đồng viên.

Ta có :

$\angle QBA$$=\angle BAP$$=\angle BCP$$=\angle SBC$$\Rightarrow \angle QBS$$=\angle QBA+\angle ABS$$=\angle SBC+\angle ABS$$=\angle ABC(\ast )$

$\angle AHQ$$=\angle QBA$$=\angle SBC$$=\angle SHC$$\Rightarrow QHS$$=\angle AHQ+\angle AHS$$=\angle SHC+\angle AHS$$=\angle AHC(\ast \ast )$

Lại dễ thấy : $\angle ABC+\angle AHC=180^0$ nên từ $(\ast )(\ast \ast )$ ta suy ra $\angle QBA+\angle AHQ=180^0(1)$.

Không khó để thấy $QACS$ là hình bình hành, từ đó $AC$ song song $QS$ nhưng $BH$ vuông góc $AC$ nên $BH$ vuông góc $QS$ $(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $H$ là trực tâm tam giác $QBS$. Tương tự các tam giác $CSR,ARQ$ cũng nhận $H$ làm trực tâm.

b) Ta có $AF$ song song $SC$ mà $SC$ vuông góc $HR$ do $H$ là trực tâm tam giác $CSR$ nên $AF$ vuông góc $HR$. Từ đó dễ thấy tứ giác $DFHA$ nội tiếp, suy ra $\angle DFR=\angle DAH=\angle FRC$, kéo theo $DF$ song song $CR$ mà $CR$ vuông góc $HS$, vậy $DF$ vuông góc $HS$.