1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Poland Finals 2002) Cho là một số nguyên dương cố định. Xét dãy thỏa mãn : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương khác thì nguyên tố cùng nhau. Lời giải : Ta có : Không giảm tổng quát, ta giả sử . Khi đó gọi là một ước nguyên tố chung […]
Bài toán (Đề thi thử sức – Đồng hành cùng Gặp gỡ toán học 2014) Cho hai dãy thỏa mãn : Đặt . Tính . Lời giải : Khử dãy ta được : Ta thay bởi trong thì được : Trừ vế theo vế : Phương trình sai phân này cho ta nghiệm : Ta có :
Bài toán (Đề thi Olympic Gặp gỡ toán học 2014, lớp 11) Cho và . Chứng minh : Lời giải : Ta có thể viết điều cần chứng minh dưới dạng : Dễ thấy phương trình có hai nghiệm nên để chứng minh ta chỉ cần chứng minh : Điều này sẽ đúng nếu là độ […]
Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 394) Giải hệ phương trình : Lời giải : Ta đặt thì ta viết phương trình đầu thành : Chú ý phương trình thứ hai viết được dưới dạng : Từ đó dễ dàng kết luận được nghiệm của phương trình là : Ở đó […]
Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2009) Tìm nghiệm thực của hệ sau : Lời giải : Trước hết, ta có một kết quả đơn giản sau : Nếu là các số thỏa thì : Thực vậy, bằng Cauchy-Schwarz, ta đi chứng minh một kết quả mạnh hơn : Bằng một vài biến đổi đại số, […]
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO THPT Chuyên Sư Phạm, ĐHQG Hà Nội 2011-2012) Giải hệ phương trình : Lời giải : Xét hàm số trên . Ta có : Do nên , từ đó thấy . Do đó đồng biến. Ta viết hệ đã cho thành : Gỉa sử : Ta được Tương tự ta được […]
Bài toán (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 424) Giải phương trình : Lời giải : Sử dụng BĐT Holder : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Và đó cũng là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài toán : Giải hệ phương trình : Lời giải : Điều kiện Xét các hàm số : Ta có : Vậy trên thì nghịch biến và đồng biến. Ta viết hệ thành : Không giảm tổng quát, giả sử . Ta có : Ta phải được .Tương tự thì được . Dẫn đến phương trình […]
Bài toán : Giải hệ phương trình sau : Lời giải : Từ phương trình đầu, ta được : Xét hàm số có đạo hàm : Nên nghịch biến. Ta có nên . Thay vào bất phương trình sau : Rõ ràng hệ là vô nghiệm nên ta được : Xét phương trình tương ứng […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Long An, tỉnh Long An) Giải hệ phương trình : Lời giải : Đặt thì ta được : Từ đó ta suy ra : Thay vào phương trình đầu : Tương ứng . Như vậy hệ có nghiệm .
Bài toán (Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 418) Giải hệ phương trình : Lời giải : Ta viết phương trình đầu dưới dạng : Từ phương trình sau ta được : Kết hợp vào ta được . Dễ dàng tìm được nghiệm của hệ là :
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Xét hằng thì được . Ta xét không hằng. Trong chọn ta được : Trong thay bởi : Trong chọn : Từ đó ta được : Hơn nữa trong cho : Từ đó : Trong đó .Nếu thì đồng nhất […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải 1 : Ta sử dụng phương pháp , xây dựng phương trình hàm từ , lên và lên . Đặt . Trong cho : Trong cho : Trong cho : Trong cho : Nếu mà thì trong chọn : Tức […]
Bài toán (Iran Team Selection Test 2008) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Đặt . Trong thay : Trong thay : Trong thay : Nhưng ở trên ta có và nên ta được : Trong thay : Từ suy ra : Rõ ràng nếu thì từ ta suy […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm thỏa mãn: Lời giải : Trong cho : Trong cho : . Trong cho : Giải hệ gồm ta được . Trong cho : Trong cho : Từ suy ra : Đáp số bài toán :
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Bước 1 : Tính . Đặt . Trong chọn : . Trong chọn : Trong chọn : Trong chọn : Hơn nữa trong chọn : Do đó ta thu được : Như vậy ta được . Bước 2 : […]
Bài toán (AMM 2001) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Dễ thấy toàn ánh nên tồn tại để . Trong cho : Từ suy ra : Từ đó có . Từ đó trong cho được . Trong cho được . Suy ra được . Tức . Hơn nữa qua cách chứng minh […]
Bài toán (Turkey Team Selection Test 2014) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Đặt và . Trong thay : . Suy ra : Dễ thấy toàn ánh nên : Trong cho : Ta suy ra được : . Suy ra : . Trong cho : . Trong cho […]
Bài toán (Argentina Team Selection Test 2010) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Dễ thấy hàm hằng không thỏa. Ta xét không hằng. Trong cho ta được : Rõ ràng nếu thì là hàm hằng. Do đó phải có Ta sẽ chứng minh : Thật vậy, giả sử […]
Bài toán : Cho là các số thực dương. Tìm hằng số lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng : Lời giải : Trong bất đẳng thức ban đầu, ta cho : Do tính thuần nhất nên ta có thể cho , lúc này : Ta xét hàm số : Có đạo hàm […]