Bài toán (Đề thi thử sức – Đồng hành cùng Gặp gỡ toán học 2014) Cho hai dãy $(a_n),(b_n)$ thỏa mãn : \[\left\{\begin{matrix} a_0=1,a_1=\dfrac{1}{2}\\ 2b_{n+1}=2b_n-a_n\\ b_n=\dfrac{1}{3}+2a_{n+1} \end{matrix}\right.\] Đặt $c_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum} } \dfrac{b_k}{a_k}$. Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}c_n$. Lời giải : Khử dãy $(a_n)$ ta được : \[12b_{n+1}=12b_n-3b_{n-1}-1\] \[\Leftrightarrow x_{n+1}=x_n-\dfrac{1}{4}x_{n-1}-\dfrac{1}{4}\;\;(*)\;(x_n=3b_n)\;\;\] Ta thay $n$ bởi $n+1$ trong $(*)$ thì được : \[x_{n+2}=x_{n+1}-\dfrac{1}{4}x_n-\dfrac{1}{4}\;\;(**)\] Trừ vế theo vế $(**)(*)$ : \[x_{n+2}=2x_{n+1}-\dfrac{5}{4}x_{n}+\dfrac{1}{4}x_{n-1}\] Phương trình sai phân này cho ta nghiệm : \[x_n=\dfrac{3}{2^n}+1\] Ta có : \[c_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} \dfrac{b_k}{a_k}=\dfrac{1}{2^{n+1}}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} \dfrac{6b_k}{3b_{k-1}-1}+\dfrac{b_0}{2^{n+1}.a_0}\] \[=\dfrac{1}{2^n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} \dfrac{x_k}{x_{k-1}-1}+\dfrac{4}{2.^{n+1}.3}=\dfrac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} \dfrac{3+2^n}{6}+\dfrac{4}{2^{n+1}.3}=\dfrac{3n-2+2^{n+1}}{6.2^{n}}+\dfrac{4}{3.2^{n+1}}=\dfrac{3n-2}{3.2^n}+\dfrac{1}{3}\rightarrow 1/3\] \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}c_n=1/3\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (Đề thi thử sức – Đồng hành cùng Gặp gỡ toán học 2014)

Cho hai dãy $(a_{n}), (b_{n})$ thỏa mãn :

$⎩ ⎨ ⎧ a_{0} = 1, a_{1} = \frac{1}{2} 2 b_{n + 1} = 2 b_{n} - a_{n} b_{n} = \frac{1}{3} + 2 a_{n + 1}$

Đặt $c_{n} = \frac{1}{2 ^{n + 1}} k = 0 \sum n \frac{b _{k}}{a _{k}}$ . Tính $n \to + \infty lim c_{n}$ .

Lời giải :

Khử dãy

(a_{n})

ta được :

12 b_{n + 1} = 12 b_{n} - 3 b_{n - 1} - 1

\Leftrightarrow x_{n + 1} = x_{n} - \frac{1}{4} x_{n - 1} - \frac{1}{4} (*) (x_{n} = 3 b_{n})

Ta thay

n

bởi

n + 1

trong

(*)

thì được :

x_{n + 2} = x_{n + 1} - \frac{1}{4} x_{n} - \frac{1}{4} (* *)

Trừ vế theo vế

(* *) (*)

x_{n + 2} = 2 x_{n + 1} - \frac{5}{4} x_{n} + \frac{1}{4} x_{n - 1}

Phương trình sai phân này cho ta nghiệm :

x_{n} = \frac{3}{2 ^{n}} + 1

Ta có :

c_{n} = \frac{1}{2 ^{n + 1}} k = 0 \sum n \frac{b _{k}}{a _{k}} = \frac{1}{2 ^{n + 1}} k = 1 \sum n \frac{6 b _{k}}{3 b _{k - 1} - 1} + \frac{b _{0}}{2 ^{n + 1} . a _{0}}

= \frac{1}{2 ^{n}} k = 1 \sum n \frac{x _{k}}{x _{k - 1} - 1} + \frac{4}{2 . ^{n + 1} .3} = \frac{1}{2} k = 1 \sum n \frac{3 + 2 ^{n}}{6} + \frac{4}{2 ^{n + 1} .3} = \frac{3 n - 2 + 2 ^{n + 1}}{6. 2 ^{n}} + \frac{4}{3. 2 ^{n + 1}} = \frac{3 n - 2}{3. 2 ^{n}} + \frac{1}{3} \to 1/3

n \to + \infty lim c_{n} = 1/3