Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $x=y=0$ :

$$2f(0)+f(1)=1(\ast )$$

Trong $(1)$ cho $x=y=-1$ :

$$f(1)+f(0)+f(-1)=0(\ast \ast )$$.

Trong $(1)$ cho $x=-1,y=0$ :

$$2f(0)+f(-1)=-1(\ast \ast \ast )$$

Giải hệ gồm $(\ast )(\ast \ast )(\ast \ast \ast )$ ta được $f(0)=0,f(-1)=-1,f(1)=1$.

Trong $(1)$ cho $y=0$ :

$f(0)+f(x)+f(x+1)$$=2x+1,\forall x\in \mathbb{R}$$\iff f(x+1)$$=-f(x)+2x+1,\forall x\in \mathbb{R}(2)$

Trong $(1)$ cho $y=-1$ :

$f(-x)+f(x+1)+f(x)$$=x+1,\forall x\in \mathbb{R}$$\iff f(x+1)$$=x+1-f(x)-f(-x),\forall x\in \mathbb{R}(3)$

Từ $(2)(3)$ suy ra :

$$-f(x)+2x+1=x+1-f(x)-f(-x),\forall x\in \mathbb{R}\iff f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$

Đáp số bài toán :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$