System Of Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Long An, tỉnh Long An)

Giải hệ phương trình :

$$\{\begin{array}{c}x\left(x-2\sqrt{y-1}-1\right)=(1-x)y-1\\ x^2\left(x+3\sqrt{y-1}-6\right)=16-\sqrt{(y-1{)}^3}\end{array}$$

Lời giải :

Đặt $\sqrt{y-1}=t\ge 0$ thì $y=t^2+1$ ta được :

$$\{\begin{array}{c}x(x-2t-1)=(1-x)(t^2+1)-1\\ x^2(x+3t-6)=16-t^3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}^2-2tx=t^2-x{t}^2\\ x^3+3t{x}^2-6x^2=16-t^3\end{array}$$

Từ đó ta suy ra :

$x^3+3t{x}^2-6x^2-3(t^2-x{t}^2)$$=16-t^3-3(x^2-2tx)$$\iff (x^3+3x^{2}t+3x{t}^2+t^3)$$=3(x^2+2tx+t^2)+16$$\iff (x+t{)}^3$$=3(t+x{)}^2+16$$\iff x+t$$=4$

Thay $t=4-x$ vào phương trình đầu :

$$x^2-2x(4-x)=(4-x{)}^2-x(4-x{)}^2\iff x^3-6x^2+16x-16=0\iff x=2$$

Tương ứng $y=5$. Như vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(2,5)$.