Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\to \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2+y)=f^2(x)+\frac{f(xy)}{f(x)},\forall x,y\ne 0,x^2+y\ne 0(1)$$

Lời giải :

Bước 1 : Tính $f(1)$.

Đặt $f(1)=a$. Trong $(1)$ chọn $x=y=1$ : 

$$f(2)=a^2+1$$.

Trong $(1)$ chọn $x=1,y=2$ :

$$f(3)=f^2(1)+\frac{f(2)}{f(1)}=a^2+a+\frac{1}{a}$$

Trong $(1)$ chọn $x=1,y=3$ :

$$f(4)=a^2+a+1+\frac{1}{a^2}$$

Trong $(1)$ chọn $x=1,y=4$ :

$$f(5)=a^2+a+1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^3}$$

Hơn nữa trong $(1)$ chọn $x=2,y=1$ :

$$f(5)=f^2(2)+1=a^4+2a^2+2$$

Do đó ta thu được :

$a^2+a+1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^3}$$=a^4+2a^2+2$$\iff \frac{a^4+a^2+1}{a^3}$$=a^4+a^2+1$$\iff a$$=1$

Như vậy ta được $f(1)=1$.

Bước 2 : Xây dựng trên tập số nguyên khác $0$.

Trong $(1)$ lấy $x=1$ :

$$f(y+1)=f^2(1)+\frac{f(y)}{f(1)}=f(y)+1,\forall y\in \mathbb{R}$$

Từ đây dễ dàng có được :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\}$$

$$f(x+n)=f(x)+n,\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\},n\in \mathbb{Z}$$

Trong $(1)$ chọn $x=n\in \mathbb{Z}$ :

$n^2+f(y)$$=f(n^2+y)$$=f^2(n)+\frac{f(ny)}{f(n)}$$=n^2+\frac{f(ny)}{n},\forall y\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\},n\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow f(nx)$$=nf(x),\forall y\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\},n\in \mathbb{Z}$

Bước 3 : Xây dựng trên tập số hữu tỉ khác $0$.

Ta viết phương trình hàm $f(xy)=f(x)f(x^2+y)-f^3(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Do đó mà :

$1$$=f(1)$$=f\left(p.\frac{1}{p}\right)$$=f(p)f\left(p^2+\frac{1}{p}\right)-f^3(p)$$=p\left(p^2+f\left(\frac{1}{p}\right)\right)-p^3$$\Rightarrow f\left(\frac{1}{p}\right)$$=\frac{1}{p},\forall p\in \mathbb{Z}$

$f\left(\frac{p}{q}\right)$$=f\left(p\right)f\left(p^2+\frac{1}{q}\right)-f^3(p)$$=p\left(p^2+\frac{1}{q}\right)-p^3$$=\frac{p}{q},\forall p,q\in \mathbb{Z}$

Vậy ta xây dựng được :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{Q}\setminus \left\{0\right\}$$

Bước 4 : Xây dựng trên tập số thực khác $0$.

Ta chứng minh  kết quả sau :

i) $f(x^2)=f^2(x),\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$

ii) Nếu $x>y>0$ thì $f(x)>f(y)$

Thực vậy, ta chọn $y=1$ trong $(1)$ :

$$f(x^2+1)=f^2(x)+1,\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$$

Hơn nữa cũng có $f(x^2+1)=f(x^2)+1,\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$

Từ đó suy ra được kết quả i). Từ đó chọn $x=u^2+v,y=u^2$ với $u,v>0$ thì :

$$f(x)=f(u^2+v)=f^2(u)+\frac{f(uv)}{f(u)}>f^2(u)=f(u^2)=f(y)$$

Như vậy nhận xét ii) cũng được chứng minh.

Ta chứng minh $f(x)=x,\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$. Gỉa sử ngược lại, không giảm tổng quát, giả sử :

$$f(x)>x,\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$$

Xét số hữu tỉ $r$ mà $f(x)>r>x$. Từ đó :

$$f(x)>r=f(r)\Rightarrow r\le x$$

Và điều này là mâu thuẫn. Như vậy $f(x)=x,\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$. Và ta xét với $x\in {\mathbb{R}}^{-}$. Khi đó hiển nhiên tồn tại $y<0$ sao cho $x^2+y>0$ 

Ta có :

$f(x^2+y)$$=f(x^2)+\frac{f(xy)}{f(x)}$$\iff x^2+y$$=x^2+\frac{xy}{f(x)}$$\iff f(x)$$=x,\forall x\in {\mathbb{R}}^{-}$

Ta kết luận được :

$$\boxed{f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}}$$