Functional Equation

Bài toán (Turkey Team Selection Test 2014)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(y)+x^2+1)+2x=y+f^2(x+1),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Đặt $f(0)=a$ và $f(1)=b$.

Trong $(1)$ thay $x=0$ :

$$f(f(y)+1)=y+b^2,\forall y\in \mathbb{R}$$.

Suy ra :

$$f(f(y)+x^2+1)+2x=f(f(y)+1)-b^2+f^2(x+1),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Dễ thấy $f$ toàn ánh nên :

$$f(x^2+y)+2x=f(y)-b^2+f^2(x+1),\forall x,y\in \mathbb{R}(2)$$

Trong $(2)$ cho $y=0$ :

$$f(x^2)+2x=a-b^2+f^2(x+1),\forall x\in \mathbb{R}(\ast )$$

Ta suy ra được :

$$f(x^2+y)=f(x^2)+f(y)-a,\forall x,y\in \mathbb{R}$$.

Suy ra :

$$f(x+y)=f(x)+f(y)-a,\forall x,y\in \mathbb{R},x\ge 0(3)$$.

Trong $(\ast )$ cho $x=-1$ :

$$b-2=a-b^2+a^2(4)$$.

Trong $(3)$ cho $x=y=1$ :

$$f(2)=2b-a$$.

Hơn nữa trong $(\ast )$ cho $x=1$ :

$$f^2(2)=b+2-a+b^2$$

Suy ra :

$$b+2-a+b^2=(2b-a{)}^2(5)$$.

Hệ phương trình gồm $(4)(5)$ cho ta nghiệm $a=0,b=1$. Do đó từ $(3)$ được :

$$f(x)+f(y)=f(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R},x\ge 0$$

Từ đó không mấy khó khăn ta được :

$$f(x)+f(y)=f(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Từ $(\ast )$ :

$f(x^2+1)+2x$$=f^2(x+1)$$\Rightarrow f(1)+f(x^2)+2x$$=(f(x)+f(1){)}^2$$\Rightarrow f(x^2)+2x$$=f^2(x)+2f(x),\forall x\in \mathbb{R}(6)$

Trong $(6)$ thay $x$ bởi $-x$ và chú ý $f$ là hàm lẻ :

$f(x^2)-2x$$=f^2(-x)+2f(-x),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x^2)-2x$$=f^2(x)-2f(x),\forall x\in \mathbb{R}(7)$

Trừ $(6)(7)$ vế theo vế ta suy ra :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$

Đó là đáp số của bài toán.