System Of Equation

Bài toán : Giải hệ phương trình :

$$\{\begin{array}{c}{x}^2+3x+2=\frac{8}{y}-\sqrt{5y-1}\\ y^2+3y+2=\frac{8}{z}-\sqrt{5z-1}\\ z^2+3z+2=\frac{8}{x}-\sqrt{5x-1}\end{array}$$

Lời giải :

Điều kiện $x,y,z\ge \frac{1}{5}$

Xét các hàm số :

$$f(t)=\frac{8}{t}-\sqrt{5t-1}$$

$$g(t)=t^2+3t+2$$

Ta có :

$$f^{\prime }(t)=\frac{-8}{t^2}-\frac{5}{2\sqrt{5t-1}}<0,\forall t\ge \frac{1}{5}$$

$$g^{\prime }(t)=2t+3>0,\forall t\ge \frac{1}{5}$$

Vậy trên $\left[\frac{1}{5},+\infty \right)$ thì $f$ nghịch biến và $g$ đồng biến. Ta viết hệ thành :

$$\{\begin{array}{c}g(x)=f(y)\\ g(y)=f(z)\\ g(z)=f(x)\end{array}$$

Không giảm tổng quát, giả sử $x=max\left\{x,y,z\right\}$. Ta có :

$x$$\ge y$$\Rightarrow f(x)$$\le f(y)$$\Rightarrow g(z)$$\le g(x)$$\Rightarrow z$$\le x$$\Rightarrow f(z)$$\ge f(x)$$\Rightarrow g(y)$$\ge g(z)$$\Rightarrow y$$\ge z$$\Rightarrow f(y)$$\le f(z)$$\Rightarrow g(x)$$\le g(y)$$\Rightarrow x$$\le y$

Ta phải được $x=y$.Tương tự thì được $x=y=z$. Dẫn đến phương trình :

$$t^2+3t+2-\frac{8}{t}+\sqrt{5t-1}=0$$

Hàm số $h(t)=t^2+3t+2-\frac{8}{t}+\sqrt{5t-1}$ có $h^{\prime }(t)=2t+3+\frac{8}{t^2}+\frac{5}{2\sqrt{5t-1}}>0$ nên $h$ đồng biến. Hơn nữa $h(1)=0$ nên $t=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình. Từ đó $(x,y,z)=(1,1,1)$ là nghiệm duy nhất của hệ.