Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải 1 :

Ta sử dụng phương pháp $\mathbb{NQR}$, xây dựng phương trình hàm từ $\mathbb{N}$, lên $\mathbb{Q}$ và lên $\mathbb{R}$.

Đặt $f(1)=a$. Trong $(1)$ cho $x=y=1$ :

$$f(2)+f(1)=2f(1)+f^2(1)\Rightarrow f(2)=a^2+a$$

Trong $(1)$ cho $x=2,y=1$ :

$$f(3)+f(2)=f(2)+f(1)+f(2)f(1)\Rightarrow f(3)=a+a(a^2+a)=a^3+a^2+a$$

Trong $(1)$ cho $x=3,y=1$ :

$$f(4)=f(1)+f(3)f(1)=a+a(a^3+a^2+a)=a^4+a^3+a^2+a$$

Trong $(1)$ cho $x=y=2$ :

$2f(4)$$=2f(2)+f^2(2)$$\iff 2(a^4+a^3+a^2+a)$$=2(a^2+a)+(a^2+a{)}^2$$\iff a^4$$=a^2$$\iff a\in \left\{0,-1,1\right\}$

Nếu mà $a=0$ thì trong $(1)$ chọn $y=1$ :

$$f(x+1)=f(1)+f(1)f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$$

Tức là $f$ đồng nhất $0$ và hàm này thỏa mãn bài ra.

Nếu mà $a=-1$ thì trong $(1)$ chọn $y=1$ :

$f(x+1)$$=f(1)+f(1)f(x)$$=-f(x)-1,\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x)$$=-f(x-1)-1,\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x-1)$$=-f(x)-1,\forall x\in \mathbb{R}(\ast )$

Trong $(1)$ chọn $y=-1$ :

$f(x-1)+f(-x)$$=f(x)+f(1)+f(x)f(-1),\forall x\in \mathbb{R}$$\iff f(x-1)$$=-f(-x)-1,\forall x\in \mathbb{R}(\ast \ast )$

Từ $(\ast )(\ast \ast )$ ta được hàm $f$ chẵn :

$$f(x)=f(-x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $-y$ :

$f(x-y)+f(-xy)$$=f(x)+f(-y)+f(x)f(-y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x-y)+f(xy)$$=f(x)+f(y)+f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$

Kết hợp với $(1)$ thì được :

$$f(x-y)=f(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Rõ ràng điều này là vô lí nếu ta chọn $x=y$. Như vậy chỉ xảy ra $a=1$ tức $f(1)=1$.

Trong $(1)$ cho $y=1$ ta được :

$$f(x+1)=f(x)+1,\forall x\in \mathbb{R}(\ast \ast \ast )$$

Từ đây và $f(1)=1$ ta quy nạp được $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{Z}$.

Từ $(\ast \ast \ast )$ dễ dàng quy nạp được :

$$f(nx)=nf(x),\forall n\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ chọn $y=n$ :

$f(n+x)+f(nx)$$=f(x)+f(n)+f(n)f(x),\forall x\in \mathbb{R},n\in \mathbb{Z}$$\iff f(nx)$$=nf(x),\forall x\in \mathbb{R},n\in \mathbb{Z}$

Trong $(1)$ lại chọn $x=y$ :

$$f(2x)+f(x^2)=2f(x)+f^2(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Mà $f(2x)=2f(x)$ nên $f(x^2)=f^2(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(\ast \ast \ast \ast )$

Từ $(\ast \ast \ast )(\ast \ast \ast \ast )$ ta dễ dàng thác triển được :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{Q}$$

Tiếp theo ta thác triển lên $\mathbb{R}$. 

Ta dễ dàng chứng minh được hàm $f$ lẻ bằng cách thế $y=-1$ vào $(1)$ và chú ý $f(-1)=-1$

Nếu $x\ge 0$ thì $f(x)=f^2\left({\left(\sqrt{x}\right)}^2\right)\ge 0$ và nếu $x\le 0$ thì $-x\ge 0$ và suy ra $f(x)=-f(-x)\le 0$.

Ta sẽ chứng minh ba kết quả sau :

$$f\left(px\right)=pf(x),\forall p\in \mathbb{Q}$$

$$f(x+p)=f(x)+p,\forall p\in \mathbb{Q}$$

Nếu $$x>y$$ thì $$f(x)\ge f(y)$$

Thực vậy với số hữu tỉ $p/q$ thì :

$pf(x)$$=f\left(px\right)$$=f\left(q.\frac{px}{q}\right)$$=q.f\left(\frac{px}{q}\right)$$\Rightarrow f\left(\frac{px}{q}\right)$$=\frac{p}{q}f(x),\forall \frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$

Và cũng với số hữu tỉ $p/q$ :

$f\left(x+\frac{p}{q}\right)$$=f\left(\frac{1}{q}.(qx+p)\right)$$=\frac{1}{q}f(qx+p)$$=\frac{1}{q}.(f(qx)+p)$$=\frac{1}{q}.(qf(x)+p)$$=f(x)+\frac{p}{q},\forall \frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$

Với hai số thực $x>y$ bất kỳ luôn tồn tại số hữu tỉ $r$ để $x>r>y$. Khi đó :

$$f(x)=f(x-r)+r\ge r\ge r+f(y-r)=f(y)$$

Tiếp theo ta chứng minh $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$. Gỉa sử ngược lại, không giảm tổng quát, giả sử $f(x)>x,\forall x\in \mathbb{R}$. Xét số hữu tỉ $r$ mà $f(x)>r>x$ ta có :

$$f(x)>r=f(r)\Rightarrow r\le x$$. 

Điều này mâu thuẫn vì $r>x$.

Từ đó ta suy ra $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$. Chỉ có hai hàm thỏa đề là :

$$f(x)\equiv x,f(x)\equiv 0$$

Lời giải 2 :

Ở lời giải 1, sau khi chứng minh được $f(-1)=1$ và $f$ là hàm lẻ. Trong $(1)$ ta thay $y$ bởi $-y$  và chú ý $f$ lẻ :

$$f(x-y)-f(xy)=f(x)-f(y)-f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Cộng vế theo vế với $(1)$ :

$f(x+y)+f(x-y)$$=2f(x)$$=f(2x),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff f(u)+f(v)$$=f(u+v),\forall u,v\in \mathbb{R}(u$$=x+y,v$$=x-y)$

Như vậy $f$ cộng tính. Kết hợp với $(1)$ suy ra $f$ nhân tính. Ta đi đến kết quả bài toán.