Functional Equation

Bài toán (AMM 2001)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2+y+f(y))=2y+f^2(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Dễ thấy $f$ toàn ánh nên tồn tại $b$ để $f(b)=0$.

Trong $(1)$ cho $y=0$ :

$$f(x^2+f(0))=f^2(x),\forall x\in \mathbb{R}(2)$$

Từ $(2)$ suy ra :

$$f^2(x)=f^2(-x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đó có $f(-b)=0$. Từ đó trong $(1)$ cho $x=0,y=b$ được $f(b)=2b+f^2(0)=0$. Trong $(1)$ cho $x=0,y=-b$ được $f(-b)=-2b+f^2(0)=0$.

Suy ra được $b=0$. Tức $f(0)=0$. Hơn nữa qua cách chứng minh $b=0$ ta có thể chứng minh được :

$$f(x)=0\iff x=0$$

Từ đó trong $(1)$ lần lượt cho $x=0$, $y=0$ :

$$f(x^2)=f^2(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f(y+f(y))=2y,\forall y\in \mathbb{R}$$

Từ đó ta được :

$$f(x^2+y+f(y))=f(x^2)+f(y+f(y)),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Tiếp theo ta sẽ chứng minh hàm số $g(x)=x+g(x)$ nhận mọi giá trị không dương.

Trong $(1)$ chọn $y=-f^2(x)/2$ được :

$$f(x^2+y+f(y))=0,\forall x\in \mathbb{R}\iff g(y)=y+f(y)=-x^2,\forall x\in \mathbb{R}$$

Điều này cho thấy $g$ nhận mọi giá trị trên ${\mathbb{R}}^{-}\cup \left\{0\right\}$.

Từ đó ta có thể thấy :

$$f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x\ge 0,y\le 0$$

Do vậy mà với $x\ge 0$ thì :

$$0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x),\forall x\ge 0\Rightarrow f(-x)=-f(x),;\forall x\ge 0$$

Từ đó dễ thấy hàm $f$ lẻ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Từ đó không khó để suy ra :

$$f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Kết hợp với $f(x^2)=f^2(x),\forall \mathbb{R}$ ta suy ra được $f(x)=ax,\forall x\in \mathbb{R},a=const$. Thử lại được $a=1$.

Đó cũng là đáp số duy nhất của bài toán.