System Of Equations

Bài toán : Giải hệ phương trình sau :

$$\{\begin{array}{c}{3}^{y-x^3}=\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\left(\sqrt{x^6+1}-x^3\right)\\ 3^{3x}-3x^3\ge 2x.3^{x+1}+5y+1\end{array}$$

Lời giải :

Từ phương trình đầu, ta được :

$y-x^3$$={\log }_3\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)-{\log }_3\left(\sqrt{x^6+1}-x^3\right)$$\iff {\log }_3\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)-y$$={\log }_3\left(\sqrt{x^6+1}-x^3\right)-x^3$

Xét hàm số $f(t)={\log }_3\left(\sqrt{t^2+1}-t\right)-t$ có đạo hàm :

$$f^{\prime }(t)=\frac{-1}{\sqrt{y^2+1}.\ln 3}<0$$

Nên $f$ nghịch biến. Ta có $f(y)=f(x^3)$ nên $y=x^3$. Thay vào bất phương trình sau :

$3^{3x}-3x^3$$\ge 2x.3^{x+1}+5x^3+1$$\iff 3^{3x}-8x^3-1$$\ge 2x.3^{x+1}$$\iff a^3+b^3+c^3$$\ge 3abc\left(a=3^x,b=-2x,c=-1\right)$$\iff \left(a+b+c\right)\left[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\right]$$\ge 0$

Rõ ràng hệ $a=b=c$ là vô nghiệm nên ta được :

$$a+b+c\ge 0\iff 3^x\ge 2x+1(\ast )$$

Xét phương trình tương ứng :

$$3^x=2x+1$$

Để ý rằng hàm số $g(x)=3^x-2x-1$ có đạo hàm $g^{\prime }(x)=3^x.\ln 3-2$ có nhiều nhất một nghiệm nên $g(x)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm (theo hệ quả định lý Rolle). Hơn nữa dễ thấy $g(0)=g(1)=0$ nên $x=0,1$ là hai nghiệm của phương trình.

Lại thấy $g\left(\frac{1}{2}\right)<0$ nên nghiệm của bất phương trình $(\ast )$ là $x\notin \left[0,1\right]$.

Ta kết luận nghiệm của hệ đã cho là :

$$(x,y)=(k,k^3),k\notin \left[0,1\right]$$